椭圆的几何性质（1）教学目标（1）掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；（2）掌握椭圆标准方程中a、b、c、e的几何意义及相互关系；（3）感受如何运用方程研究曲线的几何性质．教学重点，难点运用方程研究曲线的几何性质．教学过程一．问题情境1．情境：复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中a、b、c的关系2．问题：在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．那么椭圆有哪些几何性质呢？二．学生活动学生通过椭圆的标准方程，以及椭圆的图象尝试观察a、b、c在图象中的体现．三．建构数学１．范围由方程22221xyab可知，椭圆上点的坐标(,)xy都适合不等式222211xyab，即22xa，所以xa．同理可得yb．这说明椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形内．2．对称性：从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称．从方程22221xyab上看：（1）把x换成x方程不变，说明当点(,)Pxy在椭圆上时，点P关于y轴的对称点(,)Pxy也在椭圆上，所以椭圆的图象关于y轴对称；（2）把y换成y方程不变，所以椭圆的图象关于y轴对称；（3）把x换成x，同时把y换成y方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称．综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．３．顶点：在方程22221xyab中，令0x，得yb，说明点1(0,)Bb，2(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点．同理1(,0)Aa，2(,0)Aa是椭圆与x轴的两个交点．(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点；(2)长轴、短轴：线段12AA、线段12BB分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；(3)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长．４．离心率：用心爱心专心1椭圆的焦距与长轴长的比ace，叫做椭圆的离心率．说明：（１）因为0,ac所以01e．（２）e越接近1，则c越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆；（３）当且仅当ab时，0c，这时两焦点重合，图形变为圆，但本教材规定圆与椭圆是不同的曲线，有些书将圆看成特殊的椭圆；（４）试让学生通过探究ba的大小变化来发现＂扁＂的程度．四．数学运用1．例题：例1．求椭圆221259xy的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．分析：由椭圆的标准方程221259xy可知5a，3b，则椭圆位于四条直线5x，3y所围成的矩形内．又椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出第一象限的图形就可以画出整个图象．解：根据椭圆的方程221259xy，得5a，3b，2594c．因此，长轴长210a，短轴26b．焦点为1(4,0)F和2(4,0)F，顶点为1(5,0)A，2(5,0)A，1(0,3)B，2(0,3)B．离心率40.85cea．将方程变形为23255yx，根据23255yx算出椭圆在第一象限的几个点的坐标：x012345y32.942.752.41.80说明：①本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．②根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．例２．求符合下列条件的椭圆标准方程：（１）焦距为8，离心率为0.8．（２）焦点与长轴较接近的端点的距离为105，焦点与短轴两端点的连线互相垂直．解：（１）由题意：因为28c，所以4c；又因为0.8ca，所以5a，所以29b，用心爱心专心2焦点在x轴上时椭圆标准方程：221259xy；焦点在y轴上时椭圆标准方程：221259yx．（２）由题意：105ac，bc，222abc，所以解得210a，25b，焦点在x轴上时椭圆标准方程：221105xy；焦点在y轴上时椭圆标准方程：221105yx．五．回顾小结：1．椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2．椭圆标准方程中a、b、c、e的几何意义及相互关系．用心爱心专心3
