高中数学 七大高频考点例析讲义（含解析）苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教案VIP专享VIP免费

高考七大高频考点例析[对应学生用书P64]导数的几何意义及运算考查方式从近几年的高考试题分析，对该部分内容的考查，主要考查利用导数的几何意义求切线方程；导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导；题型既有填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．备考指要函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，于是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．求切线方程时，应明确“在某点处的切线方程”和“过某点的切线方程”的不同；熟练掌握基本函数的导数及导数的四则运算.[例1](广东高考)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________________．[解析]由y＝e－5x＋2⇒y′＝－5e－5x⇒切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，于是切线方程为y－3＝－5(x－0)⇒5x＋y－3＝0.[答案]5x＋y－3＝0[例2]曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________________．[解析] y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.[答案]y＝4x－31．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线的斜率为________．解析：y′＝(ex)′＝ex，所以当x＝0时，y′＝e0＝1.答案：12．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为________．解析：y′＝－3x2＋6x，∴当x＝1时，y′＝3，即斜率k＝3.所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.答案：3x－y－1＝03．如果曲线y＝x4－x在点P处的切线垂直于直线y＝－x，那么点P的坐标为________．解析：由y′＝4x3－1，当y′＝3时，有4x3－1＝3，可解得x＝1，此时，点P的坐标为(1,0)．答案：(1,0)4．(北京高考)已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解：由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)，f(x)为偶函数．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)1所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝11时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．利用导数研究函数的单调性考查方式利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一．主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性，在高考命题中，若以填空题的形式出现，难度则以中低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主．备考指要利用导数的符号判断函数的单调性是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接.[例3](山东高考)已知函数f(x)＝ax2＋bx－lnx(a，b∈R)．(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；(2)设a＞0，且对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较lna与－2b的大小．[解](1)由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝.①当a＝0时，f′(x)＝.(ⅰ)若b≤0，当x>0时，f′(x)<0恒成立，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．(ⅱ)若b>0，当0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.②当a>0时，令f′(x)＝0，得2ax2＋bx－1＝0.由Δ＝b2＋8a>0，得x1＝，x2＝.当0