平面向量的数量积及运算律（1）教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.2．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ23．平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作4．平面向量的坐标运算若，，则，，奎屯王新敞新疆若，，则5．∥()的充要条件是x1y2-x2y1=06．线段的定比分点及λP1,P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1,P2的任一点，存在实数λ，使=λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：λ>0(内分)(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)7.定比分点坐标公式：若点P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比.用心爱心专心115号编辑8.点P的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点.②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点P为的外分点.9.段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设＝，＝，可得=.10．力做的功：W=||||cos，是与的夹角二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有=||||cos，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积×，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=.因为其中cos有可能为0.用心爱心专心115号编辑COPP2P1FθsAObac（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是==如右图：=||||cos=|||OA|，=||||cos=|||OA|=但(5)在实数中，有(aa)c=a(ac)，但是()()显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.3．“投影”的概念：作图定义：||cos叫做向量在方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为||；当=180时投影为||.4．向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影||os的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量.1==||cos2=03当与同向时，=||||；当与反向时，=||||.特别的=||2或4os=5||≤||||三、讲解范例：例1判断正误，并简要说明理由.用心爱心专心115号编辑AAAOOOB1B1(B1)BBBbbbaaaθθθθθθ①·＝；②0·＝０；③－＝；④｜·｜＝｜｜｜｜；⑤若≠，则对任一非零有·≠０；⑥·＝０，则与中至少有一个为；⑦对任意向量，，都有（·）＝（·）；⑧与是两个单位向量，则２＝２.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有·＝０；对于②：应有０·＝；对于④：由数量积定义有｜·｜＝｜｜·｜｜·｜cosθ｜≤｜｜｜｜，这里θ是与的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜·｜＝｜｜·｜｜；对于⑤：若非零向量...
