实数与向量的积（2）教学目的：1.了解平面向量基本定理；2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母、等表示；3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行.向量、、平行，记作∥∥.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.向量加法的三角形法则和平行四边形法则.8．向量加法的交换律：+=+9．向量加法的结合律：(+)+=+(+)10．向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差.即：=+()11．差向量的意义：=,=,则=即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.12．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=13．运算定律结合律：λ(μ)=(λμ)分配律：(λ+μ)=λ+μλ(+)=λ+λ14．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2用心爱心专心115号编辑OaAbBa-bab探究：(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量三、讲解范例：例1已知向量，求作向量2.5+3.作法：（1）取点O，作=2.5=3（2）作OACB，即为所求2.5+3例2如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和解：在ABCD中， =+=+，==∴==(+)=，==()===+===+例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4证明： E是对角线AC和BD的交点∴==,==在△OAE中，+=同理+=，+=，+=以上各式相加，得+++=4例4如图，，不共线，=t(tR)用,表示解： =t∴=+=+t用心爱心专心115号编辑OABCNBACDMabABCDEOABOP=+t()=+tt=(1t)+t1.设、是同一平面内的两个向量,则有A.、一定平行B.、的模相等C.同一平面内的任一向量都有=λ+μ(λ、μ∈R)D.若、不共线,则同一平面内的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)2.已知矢量=-2,=2+,其中、不共线,则+与=6-2的关系A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知向量、不共线,实数x、y满足(3x-4y)+(2x-3y)=6+3,则x-y的值等于A.3B.-3C.0D.24.若、不共线,且λ+μ=0(λ,μ∈R)则λ=,μ=.5.已知、不共线,且=λ1+λ2(λ1,λ2∈R),若与共线,则λ1=.6.已知λ1＞0,λ2＞0,、是一组基底,且=λ1+λ2,则与_____,与_________(填共线或不共线).参考答案：1.D2.B3.A4.005.06.不共线不共线五、小结平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.六、课后作业：1．如图，平行四边形ABCD中，＝，＝，H、M是AD、DC之中点，F使BF＝BC，以、为基底分解向量与.分析：以，为基底分解与，实为用与表示向量与奎屯王新敞新疆解：由H、M、F所在位置有：=+=+=+=＋，＝－＝＋－＝＋＝＋－＝－2．如图，O是三角形ABC内一点，PQ∥BC，且＝ｔ，＝，＝，＝，求与.分析：由平面几何的知识可得△APQ∽△ABC，且对应边的比为ｔ，∴＝ｔ，转化向量的关系为：用心爱心专心115号编辑BFCMDHA＝ｔ，＝ｔ，又由于已知和未知向量均以原点O为起点，所以把有关向量都用以原点O为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在奎屯王新敞新疆解： PQ∥BC，且＝ｔ，有△APQ∽△ABC，且对应边比为...
