第2章解析几何初步第3课圆的方程与空间直角坐标系[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]求圆的方程【例1】有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．[解]法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得解得∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.法二：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA方程为y－6＝－(x－3)，即3x＋4y－33＝0.又kAB＝＝－2，∴kBP＝，∴直线BP的方程为x－2y－1＝0.解方程组得∴P(7,3)，∴圆心为AP中心，半径为|AC|＝，∴所求圆的方程为(x－5)2＋2＝.求圆的方程主要是利用圆系方程、圆的标准方程和一般方程关系，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：1选择圆的方程的某一形式；2由题意得a，b，r或D，E，F的方程组；3解出a，b，r或D，E，F；4代入圆的方程.[跟进训练]1．已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程．[解]设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． 圆心在直线y＝－2x上，∴b＝－2a，即圆心为(a，－2a)．又圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，解得a＝1或a＝9.∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝，故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0(1)求的最大值与最小值；(2)求y－x的最大值与最小值；(3)求x2＋y2的最大值与最小值．[思路探究]注意到，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率；y－x可以看作直线y＝x＋b在y轴上的截距；x2＋y2是圆上一点与原点距离的平方，借助平面几何知识，利用数形结合求解．[解]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆．(1)设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝3相切时，斜率k取得最大值与最小值，此时＝，解得k＝±.故的最大值为，最小值为－.(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当直线y＝x＋b与圆相切时，直线在y轴上的截距b取得最大值与最小值，此时＝，解得b＝－2±，故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.(3)x2＋y2表示圆上的点与原点的距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心的连线上时与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又圆心与原点的距离为2，故x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，最小值为(2－)2＝7－4.与圆有关的最值问题的转化1形如μ＝的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题.2形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题.3形如m＝x－a2＋y－b2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题.[跟进训练]2．(1)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()A．36B．18C．6D．5(2)已知实数x，y满足x2＋y2＝1，求的取值范围．(1)C[圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，其圆心到直线x＋y－14＝0的距离d＝5. d＞r，∴直线与圆相离．∴最大距离与最小距离的差是两个半径，即6.](2)解：如图所示，设P(x，y)是圆x2＋y2＝1上的点，则表示过P(x，y)和Q(－1，－2)两点的直线PQ的斜率．过点Q作圆的两条切线QA，QB，由图可知QB⊥x轴，kQB不存在，且kQP≥kQA.设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)，由圆心到QA的距离为1，得＝1，解得k＝.所以的取值范围是.直线与圆的位置关系【例3】已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．[解](1)圆心C(1,2)，半径为r＝2.①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知，＝2，解得k＝.∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.(3) ...
