第2章解三角形利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．[解](1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，所以由正弦定理得sinC＝＝×＝.(2)因为a＝7，所以c＝a＝×7＝3，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得72＝b2＋32－2b×3×，解得b＝8或b＝－5(舍去)，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×＝6.解三角形的四种类型已知条件应用定理一般解法1一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解.两边和夹角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解．三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解．两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理、余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解.1．(1)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A．B．C．－D．－(2)在△ABC中，若三边的长为连续整数，且最大角是最小角的二倍，求三边长．(1)C[设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin＝c，则a＝c．在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝C．由余弦定理，可得cosA＝＝＝－.](2)[解]设最小内角为θ，三边长为n－1，n，n＋1，由正弦定理，得＝，所以n－1＝，所以cosθ＝.由余弦定理的变形公式，得cosθ＝，所以＝，解得n＝5.所以△ABC的三边分别为4,5,6.判断三角形的形状【例2】在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状．[解]由已知＝＝＝得＝，以下可有两种解法：法一：(利用正弦定理边化角)由正弦定理得＝，∴＝，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B， B、C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°.∴B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：(利用余弦定理角化边)由余弦定理得＝，2即a2(b2－c2)＝(b2＋c2)(b2－c2)，解得a2＝b2＋c2或b2＝c2(即b＝c)，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．1．利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状的两种方法法一：通过边之间的关系判断形状；法二：通过角之间的关系判断形状．利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件化为边的关系或化为角的关系．2．判断三角形的形状时常用的结论(1)在△ABC中，A＞B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosAc2⇔cosC>0⇔0
