2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离学习目标核心素养1．理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单应用．(重点、难点)2．熟练掌握中点坐标公式．3．会求两条平行直线间的距离．(易错点)通过学习本节内容来提升学生的数学运算核心素养.1．两点间的距离公式平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝．特别地，当x1＝x2＝0，即两点在y轴上时，P1P2＝|y1－y2|；当y1＝y2＝0，即两点在x轴上时，P1P2＝|x1－x2|.2．中点坐标公式对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则3．点到直线的距离(1)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝．(2)点P0(x0，y0)到直线l：y＝kx＋b的距离d＝．(3)两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离(4)两平行线间的距离公式若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离d＝．1.思考辨析(1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.()(2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．()(3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．()(4)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝与两点的先后顺序无关．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．已知△ABC的三个顶点坐标为A(－1，0)，B(2，1)，C(0，3)，则边AB的长为________，AB边的中线CM的长为________．[由中点坐标公式得，M的坐标为，由两点间的距离公式得AB＝＝，CM＝＝.]3．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为________．[d＝＝＝.]4．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为________．1[d＝＝1.]两点间距离公式及其应用1【例1】如图，△ABC的顶点B(3，4)，AB边上的高CE所在直线方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1＝0，求边AC的长．思路探究：利用直线AB，AD的方程求交点A.利用D是线段BC的中点，将点C的坐标转化到点D上，再利用点C在直线CE上，点D在直线AD上解得点C.然后利用两点间距离公式求AC.[解]设点A，C的坐标分别为A(x1，y1)，C(x2，y2)． AB⊥CE，kCE＝－.∴kAB＝－＝.∴直线AB的方程为3x－2y－1＝0.由得A(1，1)． D是BC的中点，∴D.而点C在直线CE上，点D在直线AD上，∴解得∴C(5，2)．即|AC|＝＝.两点间距离公式主要是用来计算两点之间的距离，记熟公式是解题的关键，单独考查较少，常与其他知识综合考查．1．在x－y＋4＝0上求一点P，使点P到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等．[解]由直线x－y＋4＝0可得y＝x＋4，因为点P在此直线上，所以可设点P的坐标为(a，a＋4)，已知|PM|＝|PN|，由两点间距离公式可得＝，解得a＝－，从而a＋4＝，所以点P的坐标为.点到直线的距离与两平行线间的距离公式的应用【例2】(1)若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．(2)若两平行直线3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之间的距离是，则＝________．思路探究：(1)由点到直线的距离公式得出k的方程，解方程即得k值．(2)由平行关系及平行线间的距离公式可求得a，c的值．(1)－3或(2)±1[(1)由4＝，解得k＝－3或k＝.(2)由于两直线平行，所以＝≠，解得a＝－4，c≠－2，又＝，故c＝－6或c＝2.从而＝1或－1.]21.利用点到直线的距离公式要注意：(1)要将直线方程化为一般式；(2)当直线方程中含有参数时，斜率不存在的情况要单独考虑．2.对于平行线间的距离问题一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)直接用公式d＝，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．2．(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程；(2)已知直线l经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)，B(－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．[解](1) 与l平行的直线方程为5x－12y＋c＝0，根据两平行直线间的距离公式得＝3，解得c＝45或c＝－33.所以所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.(2)由已知条件可知直线l的斜率一定存在，又直线l经过点P(2，－5)，∴设直线l：y＋5＝k(x－2)，即kx－y－2k－5＝0，∴A点到直线l的距离d1＝＝，B点...
