高中数学 第1部分 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的坐标表示讲义（含解析）苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学教案VIP免费

3．1.4空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.问题1：用i，j，k表示，.提示：＝i＋j，＝j＋k.问题2：若＝xi＋yj＋zk，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？提示： ＝i＋j＋k，∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).空间向量的坐标运算一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3000N，|F2|＝2000N，|F3|＝2000N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3000,2000,2000)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5000N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标．(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标．2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．空间向量的坐标表示[例1]如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AB＝1.求向量的坐标．[思路点拨]以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系，用、、表示，得其坐标．[精解详析] PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴、、是两两垂直的单位向量．设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A－xyz.法一： ＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋(＋＋)＝＋＝e2＋e3，∴＝.法二：如图所示，连结AC、BD交于点O.则O为AC、BD的中点．∴＝＝，＝，∴＝＋＝＋＝e2＋e3，∴＝.[一点通]用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标．解：设x、y、z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向与各轴上的正方向相同，则＝＋＋＝2e1＋2e2＋2e3，∴＝(2,2,2)． ＝＋＋＝2e1＋2e2＋e3，∴＝(2,2,1)．又 ＝e2，∴＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求、的坐标．解：(1) ＝－＝－(＋)＝－[＋(＋)]＝－－－.又||＝4，||＝4，||＝2，∴＝(－2，－1，－4)．(2) ＝－＝－(＋)＝－－.又||＝2，||＝4，||＝4，∴＝(－4,2，－4)．3．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．解：由已知p＝2a＋3b－c，设p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc.由向量分解的惟一性，得解得∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为(－1,4，－1).空间向量的坐标运算[例2]已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求：a＋b，a－b,3a＋2b.[思路点拨]空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似．[精解详析]a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)．a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．3a＋2b＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4)＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通]空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．4．已知a＝(1，－2,4)，b＝(1,0,3)，c＝(0,0,2)．求：(1)a－...