高中数学 第1部分 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量的数量积讲义（含解析）苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学教案VIP免费

3．1.5空间向量的数量积空间向量的夹角在帮助日本地震灾区重建家园的过程中，中国某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为5000kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°，(其中g＝10N/kg)．问题1：向量F1和－F2夹角为多少？提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：设每个力大小为|F0|，合力为|F|，则|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝6|F0|2.∴|F|＝|F0|.∴|F0|＝×10＝×10＝(N)．1．空间两个向量的夹角：定义图示表示范围已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角〈a，b〉[0，π]2.如果〈a，b〉＝0，那么向量a与b同向；如果〈a，b〉＝π，那么向量a与b反向；如果〈a，b〉＝，那么向量a与b互相垂直，记作a⊥b.向量的数量积两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．①零向量与任何向量的数量积为0.②两非零向量a，b的夹角〈a，b〉可以由下面的公式求得cos〈a，b〉＝.③a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)．④|a|2＝a·a＝a2.(2)运算律：①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.数量积的坐标运算在平面向量中，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，我们知道a·b＝a1a2＋b1b2，那么在空间向量中，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则a·b为多少？提示：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.设空间两个非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(2)|a|＝；(3)cos〈a，b〉＝.特别地，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.1．数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零．2．数量积的运算不满足消去律和结合律，即a·b＝b·c推不出a＝c；(a·b)c≠a(b·c)．3．空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，可以用来求解线段的长度和夹角问题．求空间向量的数量积[例1]已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：(1)·；(2)·.[思路点拨]法一：基向量法：与，与的夹角不易求，可考虑用向量、、表示向量、、、，再求结论即可．法二：坐标法：建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．[精解详析]法一：(基向量法)如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝·(＋)＝b·＝|b|2＝42＝16.(2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.法二：(坐标法)以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0,2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，∴＝(0,4,0)，＝(－1,4,1)，＝(－2,2,2)，＝(2,0,2)，∴(1)·＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16；(2)·＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.[一点通]解决此类问题的常用方法有两种：(1)基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．(2)坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．1.如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱AB，AD，DC的中点，试计算下列各式的值：(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.解：在棱长为1的正四面体ABCD中，(1) ||＝||＝1，〈，〉＝60°，∴·＝||||cos60°＝1×1×＝；(2) ||＝||＝1，〈，〉＝180°－60°＝120°，∴·＝||||cos120°＝1×1×＝－；(3) ||＝，||＝1，又GF∥AC，∴〈，〉＝180°，∴·＝||||cos180°＝×1×(－1)＝－；(4) ＝－，又〈，〉＝〈，〉＝120°，∴·＝·(－)＝·－·＝1×1×－1×1×＝0.2．已知a＝(－2,0，－5)，b＝(3,2，－1)，求下列各式的值：(1)a·a；(2)|b|；(3)(3a＋2b)·(a－b)．解：(1)a·a＝a2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29；(2)|b|＝＝＝；(3)法一：因为3a＋2b＝3(－2,0，－5)＋2(3,2，－1)＝(0,4，－17)，a－b＝(－2,0，－5)－(3,2，－1)＝(－5，－2，－4)...