高中数学 第1部分 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量的应用 3.2.2 空间线面关系的判定讲义（含解析）苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学教案VIP免费

3．2.2空间线面关系的判定以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后落下石墩夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使重量为100kg的石墩垂直离开地面．每个人至少需要用kg的力．问题1：在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？提示：能．问题2：石墩下落的过程中，石墩所在的直线和地面垂直吗？提示：垂直．问题3：若一条直线平行于平面，直线的方向向量u和平面的的法向量n有什么关系？若直线垂直于平面呢？提示：u⊥n，u∥n.1．空间中平行关系的向量表示设两直线l、m的方向向量分别为a，b，两平面α、β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔a＝kb，(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0面面平行α∥β⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)2．空间垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，(k∈R)面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0用空间向量解决立体几何问题的步骤为(1)化为向量问题：用空间向量表示立体图形中点、线、面等元素．(2)进行向量运算：进行空间向量的运算，研究点、线、面之间的关系．(3)回到图形问题：把运算结果“翻译”成相应的几何意义．证明线线垂直[例1]在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.[思路点拨]先将与用向量表示，利用向量法证明．[精解详析]以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE＝BF＝x，∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)． ·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，∴⊥，即A1F⊥C1E.[一点通]利用空间向量证明线线垂直的方法：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表达出两直线的方向向量，证明其数量积为零．(2)基向量法：利用向量的加减运算律，结合图形，将要证明的两直线所在的向量用基向量表达出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.1.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.证明：法一：(基向量法)设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，＝a＋c，＝(a＋b)，＝b＋c，＝－＝－a＋b＋c，∴·＝(a＋c)·＝－＋cos60°＋＝0.∴⊥，∴AB1⊥MN.法二：(坐标法)设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，以OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A，B，C，N，B1， M为BC中点，∴M.∴＝，＝(1,0,1)，·＝－＋0＋＝0.∴⊥，∴AB1⊥MN.2．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．解：如图所示，建立以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则C1(0,2,3)，M(，2,0)，D(0,0,0)，设存在N(0,0，h)，则＝，＝(0,2,3)，·＝·(0,2,3)＝－4＋3h，∴当h＝时，·＝0，此时⊥，∴存在N∈DD1，使MN⊥DC1.证明平行关系[例2]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.[思路点拨]建立直角坐标系，求得平面的法向量，利用法向量的关系来确定线面平行，面面平行．[精解详析]如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2，2,1)，F(0,0,1)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则n1⊥，n1⊥，∴∴取y＝1，则n1＝(0,1，－2)．同理可求n2＝(0,1，－2)．(1) n1·＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥，又FC1⊄平面ADE，∴FC1∥平面ADE.(2) n1∥n2，∴平面ADE∥平面B1C1F.[一点通]利用向量法证明几何体的平行问题的途径：(1...