高中数学 第1部分 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 共面向量定理讲义（含解析）苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学教案VIP免费

3．1.2共面向量定理如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问题．问题1：、、可以移到一个平面内吗？提示：可以，因为＝，三个向量可移到平面ABCD内．问题2：，，三个向量的位置关系？提示：三个向量都在平面ACC1A1内．问题3：、、三个向量是什么关系？提示：相等．1．共面向量一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量．2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．2．向量共面不具有传递性．3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．向量共面的判定[例1]给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组(x，y)使得＝x＋y，则O、P、A、B四点共面；④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．其中正确命题的序号是________．[思路点拨]先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断．[精解详析]①错：空间中任意两个向量都是共面的；②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；③正确：因为、、共面，∴O、P、A、B四点共面；④错：没有强调零向量；⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．[答案]③[一点通]共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．1．下列说法正确的是________(填序号)．①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是、、，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是＋＋；③若＝(＋)成立，则P点一定是线段AB的中点；④在空间中，若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共面．⑤若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面．解析：①②③⑤不正确，④正确．答案：④2．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，试问向量p、q、r是否共面？解：设r＝xp＋yq，则－7a＋18b＋22c＝x(a＋b－c)＋y(2a－3b－5c)＝(x＋2y)a＋(x－3y)b＋(－x－5y)c，∴解得∴r＝3p－5q.∴p、q、r共面.向量共面的证明[例2]如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.证明：与、共面．[思路点拨]由共面向量定理，只要用、线性表示出即可．[精解详析] ＝＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋，∴与、共面．[一点通]利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x，y使向量＝x＋y成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用、表示.3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量．证明：法一：＝＋＋＝－＋＝(＋－＝－.由向量共面的充要条件知，，，是共面向量．法二：连接A1D，BD，取A1D中点G，连结FG，BG，则有FG綊DD1，BE綊DD1，∴FG綊BE.∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.BG⊆平面A1BD，EF平面A1BD∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，∴，，都与平面A1BD平行．∴，，是共面向量．4．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．求证：与向量，共面．证明：如图，在封闭四边形MABN中，＝＋＋.①在封闭四边形MC1CN中，＝＋＋② ＝k，∴＝k(＋)∴(1－k)＝k，即(1－k)＋k＝0，同理(1－k)＋k＝0.①×(1－k)＋②×k得＝(1－k)＋k， ＝－，∴＝(1－k)－k，故向量与向量，共面.共面向量定理的应用[例3]如图所示，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；(2)用向量法证明BD...