高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的几何性质讲义（含解析）苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学教案VIP免费

2．3.2双曲线的几何性质双曲线的简单几何性质歌曲《悲伤双曲线》的歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线，如果我是反比例函数，你就是那坐标轴，虽然我们有缘，能够坐在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点．问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？提示：坐标轴；原点．问题2：过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗？提示：有一个交点．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质焦点(±c,0)(0，±c)焦距2c范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R顶点(±a,0)(0，±a)对称性关于x轴、y轴、坐标原点对称轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±xy＝±x等轴双曲线观察所给两个双曲线方程．(1)－＝1；(2)x2－y2＝9.问题1：两个双曲线方程有何共同特点？提示：所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等．问题2：两个双曲线的离心率是多少？提示：.问题3：两双曲线的渐近线方程是什么？提示：渐近线方程y＝±x.实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．1．离心率e反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大．2．双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线没有交点．渐近线方程用a，b表示时，受焦点所在坐标轴的影响．双曲线的几何性质[例1]求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[思路点拨]先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，但要注意焦点在哪条坐标轴上．[精解详析]由9y2－4x2＝－36得－＝1，∴a2＝9，b2＝4.c2＝a2＋b2＝13.∴c＝.∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长为2a＝6，虚轴长为2b＝4，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x.[一点通]求解双曲线的几何性质问题时，首先将方程化为标准方程，分清焦点所在的轴，写出a与b的值，进而求出c，即可求得双曲线的性质．1．(湖北高考改编)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1，下列说法正确的个数为________．①实轴长相等；②虚轴长相等；③离心率相等；④焦距相等．解析：双曲线C1和C2的实轴长分别是2sinθ和2cosθ，虚轴长分别为2cosθ和2sinθ，则焦距都等于2，相等，离心率不相等，只有④正确．答案：12．(福建高考改编)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．解析：双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y＝±x，∴顶点到渐近线的距离为＝.答案：3．求双曲线16x2－9y2＝－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．解：把方程化为－＝1，∴a＝4，b＝3，c＝5.∴实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，焦点坐标(0，－5)，(0,5)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.根据几何性质求双曲线的标准方程[例2]求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．[思路点拨]分析双曲线的几何性质，求出a，b，c的值，再确定(讨论)焦点位置，写出双曲线的标准方程．[精解详析](1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．由题知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，得b＝.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，得b＝2.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入，得k＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.[一点通]由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为：(1)判断：利用条件判断焦点的位置；(2)设：设出双曲线的标准方程；(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程；(4)求：解参数方程，进而得标准方程．4．(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率为，则C的方程是________．解析：由题意可知c＝3，a＝2，b＝＝＝，故双曲线的方程为－＝1.答案：－＝15．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________...