1.1正弦定理教学目标：1.掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2.通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，培养学生的自主学习和自主探索能力；3.提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣．教学重点：正弦定理及其证明过程．教学难点：正弦定理的推导和证明．教学过程：一、问题情境从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．探索1我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在RtABC中，设90C，那么边角之间有哪些关系？sinaAc，sinbBc，sin1cCc，cosbAc，cosaBc，cos0C，tanaAb，sincosAB,sincosBA,1tantanAB……探索2在RtABC中，我们得到sinsinsinabcABC，对于任意三角形，这个结论还成立吗？二、学生活动把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立．学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立．1教师再通过几何画板软件进行验证（如图1）．对于验证的结果不成立的情况，指出这是由于测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理．图1三、建构数学探索3这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C为最大角，若C为直角，我们已经证明结论成立，如何证明C为锐角、钝角时结论成立？师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，进而探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下证法．证法一若C为锐角（图2（1）），过点A作ADBC于D，此时有sinADBc,sinADCb，所以sinsincBbC,即sinsinbcBC．同理可得sinsinacAC,所以sinsinsinabcABC．cbDABC（1）图2（2）若C为钝角（图2（2）），过点A作ADBC，交BC的延长线于D，此时有2sinADBc，且sinADCb，同理可得sinsinsinabcABC．综上可得，结论成立．证法二利用三角形的面积转化，先作出三边上的高AD、BE、CF，则sinADcB，sinBEaC，sinCFbA．所以ABCS1bcsinA2=1sin2acB=1bcsinA2，每项同时除以12abc，得sinsinsinabcABC探索4充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法，我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在ABC中，有BCBAAC�，设C为最大角，过点A作ADBC于D，（图3），于是BCADBAADACAD�，设AD�与AC�的夹角为，则0BAAD�cos(90+B)+cosACAD�，其中，当C为锐角或者直角时，90C；当C为钝角时，90C．故可得sinsincBbC0，即sinsinbcBC．同理可得sinsinacAC．因此sinsinsinabcABC．这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式，我们运用不同的方法证明了三角形中的一个重要定理．探索5这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角型中的哪些类型的问题？3三个式子：sinsinabAB，sinsinbcBC，sinsinacAC．每个式子中都有四个量，如果已知其中三个可求出第四个．正弦定理可以解决两类三角形问题：（1）已知两角与任一边，求其他两边和一角（两角夹一边需要先用三角形内角和定理求出第三角，再使用正弦定理）；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．四、数学运用例题在ABC中：（1）已知16a，26b，30A，求B，C，c；（2）已知30a，26b，30A，求B，C，c；（3）已知25a，11b，30B，解这个三角形．解（1）由正弦定理得sinsinabAB，即1626sin30sinB，因此26sin3013sin1616B所以154.3B，或218054.3125.7B．由于2125.730155.7180BA故2B也符合要求，从而本题有两个解154.3B或2125.7B．①当154.3B时，11180()180(54.330)95.7CAB...
