高中数学 第1章 数列 2.1 等差数列 第2课时 等差数列的性质教案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学教案VIP免费

第2课时等差数列的性质学习目标核心素养1.掌握等差中项的概念及其应用．2．掌握等差数列的项与序号的性质．(重点)3．理解等差数列的项的对称性．(重点)4．能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题．(难点)1.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的素养．2．通过学习等差中项的概念提升数学运算的素养.1．等差数列的单调性与图像阅读教材P13“练习1”以下“例5”以上部分，完成下列问题(1)等差数列的图像由an＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d＞0时，{an}为递增数列，如图(甲)所示．当d＜0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示．当d＝0时，{an}为常数列，如图(丙)所示．甲乙丙思考：(1)等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列，还是递减数列？[提示]因为公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列．(2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？[提示]等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率．2．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．思考：(1)若A是a与b的等差中项，如何用a和b表示A?[提示]A＝.(2)若数列{an}中，an是an－1和an＋1的等差中项，那么数列{an}是等差数列吗？为什么？[提示]是．因为an是an－1和an＋1的等差中项，所以an－1，an，an＋1成等差数列，故an－an－1＝an＋1－an，由等差数列的定义知数列{an}是等差数列．1．等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1,5a2,5a3，…，5an是()A．公差为d的等差数列1B．公差为5d的等差数列C．非等差数列D．以上都不对B[由等差数列的定义知an－an－1＝d，所以5an－5an－1＝5(an－an－1)＝5d，故选B．]2．等差数列{an}中，a2＝3，a7＝18，则公差为()A．3B．C．－3D．－A[a7－a2＝5d，即5d＝15，d＝3.]3．＋1和－1的等差中项为________．[＝.]4．等差数列{an}中，a3＝1，则a2＋a3＋a4＝________.3[a2＋a3＋a4＝(a2＋a4)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝3.]等差数列的性质【例1】(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8；(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．[解](1)法一：(通项公式法)根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.法二：(等差数列性质法)根据等差数列性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝，∴a4＋a8＝2a6＝.(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)， a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5，又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.等差数列性质的应用解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2ω，则am＋an＝ap＋aq＝2aω(m，n，p，q，ω都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．21．在公差为d的等差数列{an}中．(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.[解]法一：(1)化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12.(2)化成a1和d的方程组如下：解得或∴d＝3或－3.法二：(1)由等差数列性质知a2＋a24＝a3＋a23，又a2＋a3＋a23＋a24＝48，∴a3＋a23＝24＝2a13，∴a13＝12.(2)由等差数列性质知，a2＋a5＝a3＋a4，又a2＋a3＋a4＋a5＝34，∴a2＋a5＝17.又 a2·a5＝52，∴或∴d＝＝3或d＝＝－3.等差中项及其应用【例2】已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．[证明]因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以(b＋c)＋(a＋b)...