高中数学 第1章 数列 1.2 数列的函数特性教案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学教案VIP专享VIP免费

1.2数列的函数特学习目标核心素养1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念．2．掌握判断数列增减性的方法．(重点)3．利用数列的增减性求最大值、最小值．(难点、易混点)1.通过数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心素养．2．借助数列单调性的研究培养学生的逻辑推理的素养.数列的单调性阅读教材P6～P7“例3”以上部分，完成下列问题．(1)数列的函数特性数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法．(2)数列的单调性名称定义判断方法递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项an＋1＞an递减数列从第2项起，每一项都小于它前面的一项an＋1＜an常数列各项都相等an＋1＝an思考：(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，那么数列an＝f(n)也单调递增吗，反之成立吗？[提示]若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数an＝f(n)也单调递增，但反之不成立，例如f(x)＝2，数列an＝f(n)单调递增，但f(x)＝2在[1，＋∞)上不是单调递增．(2)如何判断数列的单调性？[提示]比较数列中相邻的两项an与an＋1的大小来确定其单调性．1．数列an＝n＋1是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定A[an＋1－an＝[(n＋1)＋1]－(n＋1)＝1＞0，故an＋1＞an，所以an＝n＋1是递增数列．]2．若数列{an}为递增数列，其通项公式为an＝kn－2，则实数k的取值范围是________．(0，＋∞)[由题意知an＋1－an＝[k(n＋1)－2]－(kn－2)＝k＞0，即实数k的取值范围是(0，＋∞)．]3．下列数列：①1,2,22,23，…；②1,0.5,0.52,0.53，…；③7,7,7,7，…；④－2,2，－2,2，－2，….递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，常数列是________．(填序号)1[答案]①②④③数列的图像【例1】在数列{an}中，an＝n2－8n.(1)画出{an}的图像；(2)根据图像写出数列{an}的增减性．[解](1)列表n123456789…an－7－12－15－16－15－12－709…描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…图像如图所示．(2)数列{an}在[1,4]上是递减的，在[5，＋∞)上是递增的．画数列的图像的方法数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．1．已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图像，并判断增、减性．[解]图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．2数列的单调性【例2】判断数列的增减性．[解] an＝，∴an＋1＝＝.法一：(作差法)an＋1－an＝－＝＝， n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，∴数列为递增数列．法二：(作商法) n∈N＋，∴an>0. ＝＝＝＝1＋>1，∴an＋1>an，∴数列为递增数列．法三：(构造函数法)令ƒ(x)＝(x≥1)，则ƒ(x)＝＝，∴函数ƒ(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴数列是递增数列．判断数列增减性的方法(1)作差比较法：①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列；②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列；③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．(2)作商比较法：①若an＞0，则当＞1时，数列{an}是递增数列；当＜1时，数列{an}是递减数列；当＝1时，数列{an}是常数列．②若an＜0，则当＜1时，数列{an}是递增数列；当＞1，数列{an}是递减数列；当＝1时，数列{an}是常数列．32．(1)若数列{an}是递减数列，则其通项公式可能是()A．an＝2nB．an＝n2C．an＝nD．an＝log2n(2)若an＝n2＋bn是单调递增数列，则实数b的取值范围是________．(1)C(2)(－3，＋∞)[(1)由于函数f(x)＝x是减函数，故数列an＝n是递减数列，选C．(2)由题意知an＋1－an＝[(n＋1)2＋b(n＋1)]－(n2＋bn)＝2n＋1＋b＞0恒成立，即2n＋1＋b＞0，b＞－2n－1恒成立，而n∈N＋时，－2n－1的最大值为－3(n＝1时)，所以b＞－3，即b的取值范围为(－3，＋∞)．]数列单调性的应用[探究问题]1．(1)数列{an}中，a...