高中数学 第1章 导数及其应用 1.5 定积分 1.5.1-1.5.2 曲边梯形的面积 定积分讲义（含解析）苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教案VIP免费

1．5.1&1.5.2曲边梯形的面积定积分[对应学生用书P24]曲边梯形的面积如图，阴影部分是由直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝x2所围成的图形，问题1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？提示：不能．问题2：若把区间[1,2]分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗？提示：可以．把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解．问题3：我们知道，拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能更精确地求出阴影部分的面积呢？提示：分割的曲边梯形数目越多，所求面积越精确．1．曲边梯形的面积将已知区间[a，b]等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长．于是，可用f(xi)Δx来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xn)Δx表示了曲边梯形面积的近似值．2．求曲边梯形的面积的步骤求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：→→→定积分设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，xi，…，xn，作和Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx.如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分．记为S＝f(x)dx.其中，f(x)称为被积函数，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限．定积分的几何意义问题1：试利用定积分的定义计算xdx的值．提示：将区间[0,1]等分成n个小区间，则第i个小区间为，第i个小区间的面积为ΔSi＝f·＝·，所以Sn＝Si＝·＝(1＋2＋3＋…＋n)＝·＝＋，当n→＋∞时，Sn→，所以xdx＝.问题2：直线x＝0，x＝1，y＝0和函数f(x)＝x围成的图形的面积是多少？提示：如图，S＝×1×1＝.问题3：以上两个问题的结果一样吗？提示：一样．问题4：以上问题说明了什么道理？提示：定积分f(x)dx(f(x)≥0)的值等于直线x＝a，x＝b，(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的面积．一般地，定积分f(x)dx的几何意义是，在区间[a，b]上曲线与x轴所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积．)1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”，例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，分割越细，这种“代替”就越精确．当n越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．2．定积分f(x)dx是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如x2dx＝t2dt.利用定积分的定义求曲边梯形的面积[例1]求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝x3围成的图形的面积．[思路点拨]依据求曲边梯形面积的步骤求解．[精解详析](1)分割如图，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[1,2]等分成n个小区间：，，…，，…，，每个小区间的长度为Δx＝－＝，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.(2)以直代曲取各小区间的左端点ξi，用ξ为一边长，以小区间长Δx＝为其邻边长的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξ·Δx＝3·(i＝1,2,3，…，n)．(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD的面积S的近似值，即S＝Si≈3.①(4)逼近当分割无限变细，即Δx→0时，和式①的值→S.因为3＝(n＋i－1)3＝(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3]＝[n(n－1)3＋3(n－1)2·＋3(n－1)··(n＋1)·(2n＋1)＋n2(n＋1)2]，当n→∞时，S＝3＝1＋＋1＋＝.[一点通](1)规则四边形：利用四边形的面积公式．(2)曲边梯形①思想：以直代曲；②步骤：分割→以直代曲→作和→逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．1．已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2t(单位：km/h)，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？解：将时间区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为，在第i个时间段的路程近似为Δ...