第2课时三角函数的诱导公式(五~六)学习目标核心素养(教师独具)1.能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六.(难点)2.掌握六组诱导公式,能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题.(重点)通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.一、诱导公式五终边关于直线y=x对称的角的诱导公式(公式五):sin=cos_α;cos=sin_α.思考1:角与角的三角函数值有什么关系?[提示]sin=cos=,cos=sin=.思考2:角α的终边与角-α的终边有怎样的对称关系?[提示]关于直线y=x对称.二、诱导公式六+α型诱导公式(公式六):sin=cos_α;cos=-sin_α.1.思考辨析(1)诱导公式中角α是任意角.()(2)sin(90°+α)=-cosα.()(3)cos=-sinα.()[解析](1)×.如tan(π+α)=tanα中,α=不成立.(2)×.sin(90°+α)=cosα.(3)√.cos=cos=cos=-sinα.[答案](1)×(2)×(3)√2.(1)若sinα=,则cos=________;(2)若cosα=,则sin=________.(1)(2)[(1)cos=sinα=.(2)sin=cosα=.]给值求值【例1】(1)已知sin=,则cos的值是________.(2)已知sin=,则cos的值是______.1(3)已知sin(π+A)=-,则cos的值是______.思路点拨:从已知角和待求角间的关系入手,活用诱导公式求值.(1)(2)-(3)-[(1)∵+=,∴+α=-,∴cos=cos=sin=.(2)∵sin=,∴sin=-.又∵+=,∴cos=cos=sin=-.(3)sin(π+A)=-sinA=-,cos=cos=-cos=-sinA=-.]1.给值求值型问题,若已知条件或待求式较复杂,有必要根据诱导公式化到最简,再确定相关的值.2.巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有-α,+α;+α,-α;+α,-α等.常见的互补关系有+θ,-θ;+θ,-θ等.1.已知cos=,求sin的值.[解]∵α+=+,∴sin=sin=cos=.利用诱导公式化简求值【例2】已知f(α)=.(1)化简f(α);(2)若α是第三象限的角,且cos=,求f(α)的值;(3)若α=-,求f(α)的值.思路点拨:利用诱导公式直接化简得(1),(3);结合同角三角函数关系求(2).[解](1)f(α)==-cosα.(2)∵cos=-sinα,∴sinα=-,又α是第三象限的角,∴cosα=-=-,∴f(α)=.(3)f=-cos=-cos=-cos=-cos=-.用诱导公式化简求值的方法:1对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简2变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少.2对于kπ±α和这两套诱导公式,切记运用前一套公式不变名,而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变,符号看象限”.2.已知cos=,求+的值.[解]原式=+=-sinα-sinα=-2sinα.又cos=,所以-sinα=.所以原式=-2sinα=.诱导公式在三角形中的应用【例3】在△ABC中,sin=sin,试判断△ABC的形状.思路点拨:――――――→―→[解]∵A+B+C=π,∴A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.又∵sin=sin,∴sin=sin,∴sin=sin,∴cosC=cosB.又B,C为△ABC的内角,∴C=B,∴△ABC为等腰三角形.1.涉及三角形中的化简求值或证明问题,常以“A+B+C=π”为切入点,充分结合三角函数的诱导公式求解.2.sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC=tan(A+B)=-tanC;sin=cos;cos=sin.3.已知f(α)=.(1)化简f(α);(2)若角A是△ABC的内角,且f(A)=,求tanA-sinA的值.[解](1)f(α)==cosα.(2)因为f(A)=cosA=,又A为△ABC的内角,所以由平方关系,得sinA==,所以tanA==,所以tanA-sinA=-=.教师独具1.本节课的重点是诱导公式五、六及其应用,难点是利用诱导公式解决条件求值问题.2.要掌握诱导公式的三个应用3(1)利用诱导公式解决化简求值问题.(2)利用诱导公式解决条件求值问题.(3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题.3.本节课要掌握一些常见角的变换技巧+α=-⇔+=,+α=-⇔+=,+α-=等.1.若cos40°=a,则sin50°=()A.-aB.aC.D.-B[∵sin50°=cos40°,∴sin50°=a.]2.若cos(π+α)=,则sin=________.-[∵cos(π+α)=-cosα=,∴cosα=-,∴sin=cosα=-.]3.已知sinα=,则cos=________.[cos=sinα=.]4.若sinα=,求+的值.[解]+=+=+=+=.∵sinα=,∴=10.即原式=10.45