高中数学 《基本不等式的证明（2）》教案4 苏教版必修5VIP专享VIP免费

第11课时：§3.4.1基本不等式的证明（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步掌握基本不等式；2.学会推导并掌握均值不等式定理；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。二、过程与方法通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点与难点】：重点：均值不等式定理的证明及应用。难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。【学法与教学用具】：1.学法：2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1．重要不等式：如果2．基本不等式：如果,是正数，那么我们称的算术平均数，称的几何平均数，成立的条件是不同的：前者只要求,都是实数，而后者要求,都是正数。二、研探新知最值定理：已知都是正数，①如果积是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值．证明：∵，∴，①当(定值)时，∴，∵上式当时取“”，∴当时有；1②当(定值)时，∴，∵上式当时取“”∴当时有．说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。③函数式中各项必须都是正数;④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1（1）求的最值，并求取最值时的的值。解：∵∴，于是，当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值是，此时．（2）若上题改成，结果将如何？解：∵，于是，从而，∴的最大值是，此时．例2（1）求的最大值，并求取时的的值。（2）求的最大值，并求取最大值时的值解：∵，∴，∴则，当且仅当，即时取等号。∴当时，取得最大值4。例3若，求的最小值。解：∵，∴当且仅当，即时取等号，∴当时，取最小值例4求下列函数的值域:（1）；（2）归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：2(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.四、巩固深化，反馈矫正1．已知，求的最大值，并求相应的值。2．已知，求的最大值，并求相应的值。3．已知，求函数的最大值，并求相应的值。4．已知求的最小值，并求相应的值。五、归纳整理，整体认识1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。六、承上启下，留下悬念七、板书设计（略）八、课后记：3