高中数学 §3.1 基本不等式教案 北师大版必修5VIP免费

§3.1基本不等式2abab教学目标：1、知识与技能目标：（1）掌握基本不等式2abab,认识其运算结构；（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；（3）能够利用基本不等式求简单的最值。2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；（2）体验数形结合思想。3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；（2）体会多角度探索、解决问题。教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。教学难点：利用基本不等式2abab求最值的前提条件。教学过程：一、创设情景，引入新课1.勾股定理的背景及推导赵爽弦图引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？引导学生从面积关系得到不等式：a2+b2≥2ab，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH缩为一个点时，有222abab（2）总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba（3）推理证明：作差法二、讲授新课重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）1.思考：如果用a,b去替换222abab中的a,b能得到什么结论？a,b要满足什么条件？结论：ab≤2ab(0,0ba)，当且仅当ba时取等号。2.推理证明：作差法说明：1）我们称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a2＋b2≥2ab和≥成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.3）“当且仅当”的含义：当ba时，等号成立，其含义是：如果ba那么abba2仅当ba时，等号成立，其含义是：如果abba2那么ba综合起来：其含义是：ba等价于abba24）数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项问：a，b∈R－？3.(1)探究:(课本P88)如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。引导学生发现：2ab表示圆的半经，ab表示半弦长CD,得到不等关系：ab≤2ab(0,0ba)几何意义：半弦长不大于半径长。我们称ab为正数,ab的几何平均数，称2ab为正数,ab的算术平均数。代数意义：几何平均数小于等于算术平均数三、例题讲解例1：设ba,为正数，证明不等式：baab112证法（1）由0,0ba知baabbaabbaba1121121111211证法（2）由0,0ba知baababbababa112121111211证法（3）（几何解析数形结合）AB是圆O的直径，bCBaAC,，过C作ABCD交圆O上半圆于点D，过点C作ODCE交OD于点E在OCDRt中，由射影定理知ODDEDC2即：babaabODDCDE11222由于DEDC得baab112，当且仅当ba时，等号成立结论：2211222babaabba2)2(baab222baab例2:若0x，求1yxx的最小值。变1：若0x，求123yxx的最小值。变2：若0,0ab，求bayab的最小值。变3：若3x，求13yxx的最小值。例3：若01x，求(1)yxx的最大值。变：若102x，求(12)yxx的最大值。设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件四、课时小结OEDcBA1.知识要点：（1）基本不等式的条件及结构特征（2）基本不等式在几何、代数两方面的意义2．思想方法技巧：（1）数形结合思想（2）换元法、作差法（3）配凑等技巧五、作业