高中数学 3.2《立体几何中的向量》教案一 新人教A版选修2-1VIP专享VIP免费

第一课时：§3.2立体几何中的向量方法（一）教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学过程：一、复习引入1.用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示；⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式；⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2.通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？⑴利用定义a·b＝|a||b|cos＜a,b＞或cos＜a,b＞＝，可求两个向量的数量积或夹角问题；⑵利用性质a⊥ba·b＝０可以解决线段或直线的垂直问题；⑶利用性质a·a＝｜a｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题．二、例题讲解1.出示例1：已知空间四边形OABC中，，．求证：．证明：＝＝－． ，，∴，，，．∴，．∴＝，＝0．∴2.出示例2：如图，已知线段AB在平面α内，线段，线段BD⊥AB，线段，，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离．解：由，可知．由可知，＜＞＝，∴＝＝＋＋＋2(＋＋)＝＝．∴．3.出示例3：如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角．解： ＝，＝，∴＝·＝(＋＋＋)． ，，，∴，，，∴＝＝．…求得cos＜＞，∴＜＞＝.4.小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．三、巩固练习作业：课本P116练习1、2题.第二课时：§3.2立体几何中的向量方法（二）教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学过程：一、复习引入用心爱心专心1讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？（1）通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；（2）通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题.二、例题讲解1.出示例1：如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，求证：平面ADE．证明：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设＝i，＝j，＝k．以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz，则 ＝(-1,0,0)，＝(0,,-1)，∴·＝(-1,0,0)·(0,,-1)＝0，∴AD．又＝(0,1,)，∴·＝(0,1,)·(0,,-1)＝0，∴AE．又，∴平面ADE．说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些与题目要求无关的一些数据，以使问题的解决简单化．如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度．⑵空间直角坐标些建立，可以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明．2.出示例2：课本P116例3分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？3.出示例3：课本P118例4分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？4.出示例4：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．改写为：已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．求证：OA//BD．证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设＝． BD⊥α，∴⊥i，⊥j，∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0，·j＝·(0,1,0)＝y＝0,∴＝(0,0,z)．∴＝zk．即//k．由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．5.法向量定义：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α．如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．6.小结：向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题→（2）进行向量运算→（3）回到图形问题.三、巩固练习作业：课本P120、习题A组1、2题.第三课时：§3.2立体几何中的向量方法（三）教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的...