高中数学 2.7《不变直线》教案 湘教版选修4-2VIP专享VIP免费

§2.7不变直线教学目标:一、知识与技能：掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）；利用矩阵A的特征值、特征向量给出An的简单的表示式，并能用它来解决问题。二、方法与过程经历画图、观察、发现，探究方向不变的向量和直线，研究二阶方阵的特征值与特征向量及An型矩阵；体验由特殊到一般再到特殊的数学研究方法。三、情感、态度与价值观提高学生的概括迁移能力，增强学生的逻辑推理能力，体会数学的美学意义，激发学生的学习兴趣。教学重点:求二阶方阵的特征值与特征向量，并利用它求An型矩阵教学难点：矩阵特征值与特征向量的几何意义教学过程一、复习引入：1、任何一个二元一次方程组fdycxebyax都可以写成矩阵式dcbayx＝fe假如记A＝dcba，X＝yx，B＝fe，则方程组具有形式AX＝B其中A称为系数矩阵，detA称为系数行列式。如果detA0，则A可逆，可根据求逆公式求出A1X＝A1B2、假定方程组fdycxebyax中dcba,,,不全为0，但系数行列式bcad＝0，则用加减消去一个末知数之后两个末知数同时消去，得到的方程形如0＝。如果0，方程组无解。如果＝0，任何一个一次项系数不全为0的方程的全部解都是方程组的全部解，方程有无穷多组解。二、实验观察用数学软件制作课件：取一个矩阵A＝9.02.03.01.1，决定一个线性变换A。将每个点P与向量OP对应起来，变换A将P`P的同时将OP`OP。通过课件的演示学生观察在变换作用下向量方向的变化：沿顺时针方向转动还是沿逆时针方向转动？是否有的向量方向保持不变，或者变到相反方向？是否有某条直线变到自身？观察发现，两条直线M1M2，N1N2（共4个方向）上的向量方向保持不变，这两条直线被变到自身，两条直线上共4个方向将平面划分成4个区域，同一区域中向量方向的转向相同，相邻的不同区域中向量方向转向相反。用心爱心专心1求上面的实验中在线性变换作用下保持方向不变的向量以及保持不变的直线线性变换A：P（yx,）`P（`x，`y）使``yx＝9.02.03.01.1yx每个方向由非零向量代表，只要找到X＝yx00使AX＝X对某个正实数成立。则与X共线的方向上所有的向量在线性变换作用下都保持方向不变。yx＝9.02.03.01.1yx，即yxyyxx9.02.03.01.1移项，合并同类项，得0)9.0(2.003.0)1.1(yxyx此方程组至少有一组解（yx,）＝（0,0）。如果它的系数行列式不为0。则只有这一组解，要使它有非零解（yx,）（0,0），系数行列式必须等于0，即0)2.0)(3.0()9.0)(1.1(093.022解此一元二次方程，求得两个实数根11.2646，20.7354分别代入方程组，当1＝1.2646时，方程组成为03646.02.003.01646.0yxyx解之得：xy549.0当2＝0.7354，方程组成为01646.02.003.03646.0yxyx解之得：xy215.1沿直线xy549.0的向量以及沿直线xy215.1的向量都保持方向不变，这两条直线被线性变换到自身。一般地，设A＝dcba，A表示的变换A：P（yx,）`P（`x，`y）使X`＝AX对X＝yx，X`＝``yx成立。假设过原点的某条直线l被A变到l中，在l上任取原点外的一点P（yx,），则P的像`P＝A（P）的坐标（`x，`y）＝（yx,），是某个实数，对这一组（yx,）（0,0），就有yx＝dcbayx，即dycxybyaxx合并同类项，得用心爱心专心20)(0)(ydcxbyxa此方程组至少有一组解（yx,）＝（0,0）。如果它的系数行列式不为0。则只有这一组解，要使它有非零解（yx,）（0,0），系数行列式必须等于0，即0))(())((abda...