2.6立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．解：如图，设4i，4j，2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．∴，，，，．设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，∴＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．由平面EFG，得，，于是，．∴整理得：，解得．∴BM＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝．∴用心爱心专心1故点B到平面EFG的距离为．说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．例2已知正方体ABCD－的棱长为1，求直线与AC的距离．分析：设异面直线、AC的公垂线是直线l，则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．解：如图，设i，j，k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系－xyz，则有，，，．∴，，．设n是直线l方向上的单位向量，则．∵n，n，∴，解得或．取n，则向量在直线l上的投影为n··．由两个向量的数量积的几何意义知，直线与AC的距离为用心爱心专心2
