2015届高考数学文二轮专题训练专题三第2讲三角变换与解三角形VIP免费

第2讲三角变换与解三角形考情解读1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1?tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.6．面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．热点一三角变换例1(1)已知sin(α＋π3)＋sinα＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于()A．－45B．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2思维启迪(1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋23π)进行比较．(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系．答案(1)C(2)B解析(1) sin(α＋π3)＋sinα＝－435，－π2<α<0，∴32sinα＋32cosα＝－435，∴32sinα＋12cosα＝－45，∴cos(α＋2π3)＝cosαcos2π3－sinαsin2π3＝－12cosα－32sinα＝45.(2)由tanα＝1＋sinβcosβ得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(π2－α)． α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f(θ2)＝0，求cos2θ1＋cos2θ－sin2θ的值．解(1)f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＋1－cos2x2＝12－32sin2x.所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，最大值为1＋32.(2)因为f(θ2)＝0，所以12－32sinθ＝0，即sinθ＝33，又θ是第二象限角，所以cosθ＝－1－sin2θ＝－63.所以cos2θ1＋cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θ2cos2θ－2sinθcosθ＝cosθ＋sinθcosθ－sinθ2cosθcosθ－sinθ＝cosθ＋sinθ2cosθ＝－63＋332×－63＝6－326＝2－24.热点二解三角形例2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2sinA，cosBcosC＋2ac＋bc＝0.(1)求边c的大小；(2)求△ABC面积的最大值．思维启迪(1)将cosBcosC＋2ac＋bc＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cosC，进而求c.(2)只需求ab的最大值，可利用cosC＝a2＋b2－c22ab和基本不等式求解．解(1) cosBcosC＋2ac＋bc＝0，∴ccosB＋2acosC＋bcosC＝0，∴sinCcosB＋sinBcosC＋2sinAcosC＝0，∴sinA＋2sinAcosC＝0， sinA≠0，∴cosC＝－12，...