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2015届高考数学文二轮专题训练专题三第2讲三角变换与解三角形VIP免费

2015届高考数学文二轮专题训练专题三第2讲三角变换与解三角形_第1页
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第2讲三角变换与解三角形考情解读1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用,常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等,经常和三角恒等变换结合进行综合考查.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ.(3)tan(α±β)=tanα±tanβ1?tanαtanβ.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=2sinαcosα.(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)tan2α=2tanα1-tan2α.3.三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简.(2)等式的两边同时变形为同一个式子.(3)将式子变形后再证明.4.正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(2R为△ABC外接圆的直径).变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R.a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.5.余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.推论:cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab.变形:b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC.6.面积公式S△ABC=12bcsinA=12acsinB=12absinC.7.解三角形(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一.(3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解.(4)已知三边,利用余弦定理求解.热点一三角变换例1(1)已知sin(α+π3)+sinα=-435,-π2<α<0,则cos(α+2π3)等于()A.-45B.-35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tanα=1+sinβcosβ,则()A.3α-β=π2B.2α-β=π2C.3α+β=π2D.2α+β=π2思维启迪(1)利用和角公式化简已知式子,和cos(α+23π)进行比较.(2)先对已知式子进行变形,得三角函数值的式子,再利用范围探求角的关系.答案(1)C(2)B解析(1) sin(α+π3)+sinα=-435,-π2<α<0,∴32sinα+32cosα=-435,∴32sinα+12cosα=-45,∴cos(α+2π3)=cosαcos2π3-sinαsin2π3=-12cosα-32sinα=45.(2)由tanα=1+sinβcosβ得sinαcosα=1+sinβcosβ,即sinαcosβ=cosα+cosαsinβ,∴sin(α-β)=cosα=sin(π2-α). α∈(0,π2),β∈(0,π2),∴α-β∈(-π2,π2),π2-α∈(0,π2),∴由sin(α-β)=sin(π2-α),得α-β=π2-α,∴2α-β=π2.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.设函数f(x)=cos(2x+π3)+sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)若θ是第二象限角,且f(θ2)=0,求cos2θ1+cos2θ-sin2θ的值.解(1)f(x)=cos(2x+π3)+sin2x=cos2xcosπ3-sin2xsinπ3+1-cos2x2=12-32sin2x.所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π,最大值为1+32.(2)因为f(θ2)=0,所以12-32sinθ=0,即sinθ=33,又θ是第二象限角,所以cosθ=-1-sin2θ=-63.所以cos2θ1+cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θ2cos2θ-2sinθcosθ=cosθ+sinθcosθ-sinθ2cosθcosθ-sinθ=cosθ+sinθ2cosθ=-63+332×-63=6-326=2-24.热点二解三角形例2在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a=2sinA,cosBcosC+2ac+bc=0.(1)求边c的大小;(2)求△ABC面积的最大值.思维启迪(1)将cosBcosC+2ac+bc=0中的边化成角,然后利用和差公式求cosC,进而求c.(2)只需求ab的最大值,可利用cosC=a2+b2-c22ab和基本不等式求解.解(1) cosBcosC+2ac+bc=0,∴ccosB+2acosC+bcosC=0,∴sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0,∴sinA+2sinAcosC=0, sinA≠0,∴cosC=-12,...

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