第1页共17页提能专训(二十三)导数的综合应用一、选择题1．(2014·江西八校联考)已知m是区间[0,4]内任取的一个数，那么函数f(x)＝13x3－2x2＋m2x＋3在x∈R上是增函数的概率是()A.14B.13C.12D.23[答案]C[解析] f(x)＝13x3－2x2＋m2x＋3在R上是增函数，∴f′(x)＝x2－4x＋m2≥0在R上恒成立，∴Δ＝16－4m2≤0，解得m≤－2或m≥2.又 0≤m≤4，∴2≤m≤4.故所求的概率为P＝24＝12.2．(2014·辽宁五校联考)已知a，b是实数，且e
baB．abf(b)，即lnaa>lnbb，blna>aln第2页共17页b，lnab>lnba，所以ab>ba.3．(2014·忻州联考)定义在0，π2上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)2fπ3B．f(1)<2fπ6sin1C.2fπ6>fπ4D.3fπ60，∴fxsinx′＝f′xsinx－fxcosxsin2x>0，∴函数fxsinx在0，π2上单调递增，从而fπ6sinπ6π2，故选B.5．(2014·陕西卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．若f(x)≥ag(x)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－1，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，1][答案]D[解析]对f(x)求导，得f′(x)＝11＋x，所以g(x)＝xf′(x)＝x1＋x.第4页共17页若f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立．设φ(x)＝ln(1＋x)－ax1＋x(x≥0)，则φ′(x)＝11＋x－a1＋x2＝x＋1－a1＋x2.当a≤1时，φ′(x)≥0(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)，所以φ(x)在[0，＋∞)上单调递增．又φ(0)＝0，即φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以当a≤1时，ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立(当且仅当x＝0时等号成立)．当a>1时，对x∈(0，a－1)，有φ′(x)<0，则φ(x)在(0，a－1]上单调递减，所以φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，可知ln(1＋x)≥ax1＋x不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，1]，故选D.6．(2014·鄂尔多斯模拟)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是()A．00，x1＋x2＝a4>0，x1x2＝14>0，解得a>4.所以a的取值范围为(4，＋∞)．8．已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则f′－2f′1＝()A．5B．－5C．2D．－2[答案]D[解析]对f(x)求导，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，结合题中图象知，x＝－1,2为导函数的零点，所以f′(－1)＝f′(2)＝0，即3a－2b＋c＝0，12a＋4b＋c＝0，解得a＝－c6，b＝c4...
