§2．3．1平面向量的基本定理教学目标1．通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．3．了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量正交分解，会用坐标表示向量．教学重点平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．教学难点平面向量基本定理的运用教学过程一、新课导入复习：1．数乘定义：一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa,其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝_________；(2)当λ＞0时，λa与a_________；当λ＜0时，λa与a_________；当λ＝0时，λa＝_____．2．运算律：(1)λ(μa)＝_________；(2)(λ＋μ)a＝_________；(3)λ(a＋b)＝_________；(4)λ(μ1a±μ2b)＝_________．3．向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使_________．思路1：在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2．我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v，可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα．从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是作正交分解，即在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段．如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2：前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，在黑板上给出图象进行演示和讲解．如果条件允许，用多媒体教学，通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？二、新课导学【探究1】平面向量基本定理①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2．平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢?②如图1，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．如图，在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a．过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N．由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得=λ1e1，=λ2e2．由于，所以a=λ1e1+λ2e2．也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便．1由此可得：平面向量基本定理：新知1：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．特别提醒：①基底不唯一，关键是不共线；②由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；③基底给定时，分解形式唯一．【探究2】向量的夹角不共线的向量有不同的方向，它们的位置可利用夹角来描述，因此须清楚下面两个问题：①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗...
