2.3从速度的倍数到数乘向量一、教学目标：1.知识与技能（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点)2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点:1.实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示难点:1.实数与向量积的几何意义的理解.2.平面向量基本定理的理解.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】1．思考:（引入新课）已知非零向量作出++和()+()+()==++=3==()+()+()=3讨论：①3与方向相同且|3|=3||②3与方向相反且|3|=3||2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ①|λ|=|λ|||②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=（请学生自己解释其几何意义）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）例1.（见P96例1）略[展示投影]思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）结合律：λ(μ)=(λμ)①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ②第二分配律：λ(+)=λ+λ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立OABCNMQP如果λ0，μ0，有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ||||(λμ)|=|λμ|||=|λ||μ|||∴|λ(μ)|=|(λμ)|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ0，μ0，当λ、μ同号时，则λ和μ同向，∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)|||λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)|| λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即：|(λ+μ)|=|λ+μ|当λ、μ异号，当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向还可证：|(λ+μ)|=|λ+μ|∴②式成立第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当，且λ0，λ1时1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，作===λ=λ则=+λ+λ由作法知：∥有OAB=OA1B1||=λ||OABB1A1∴λ∴△OAB∽△OA1B1∴λAOB=A1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ|与λ方向也相同λ(+)=λ+λ当λ<0时可类似证明：λ(+)=λ+λ∴③式第2课复习引入】⑴⑴实数与向量的积是一个，记作.⑵，=.⑶当时，的方向与的方向；当时，的方向与的方向；当时，=；⑷，=；=；=.⑸判断正误：向量与向量共线，当且仅当只有一个实数，使得.6、(1)；⑵；⑶.根据以上的运算律，填空：=；⑵.【师生互动】例1计算：⑴；⑵；AOBB1A1⑶.例2已知两个两个向量和不共线，，，，求证：、、三点共线.例3如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，，你能用、表示、、、吗？例4教材p82例3【巩固练习】1下列各式中不表示向量的是（）A.B.C.D.（，且）2.在中，、分别是、的中点，若，，则等于（）A.B.C.D...
