高中数学 2.2 证明不等式的基本方法-分析法与综合法教案 新人教A版选修4-5VIP专享VIP免费

2.2证明不等式的基本方法——分析法与综合法●教学目标：1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点.2、理解综合法与分析法的实质，熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤.●教学重点：综合法与分析法证明不等式的方法与步骤●教学难点：综合法与分析法证明不等式基本原理的理解●教学过程：一、复习引入：1、复习比较法证明不等式的依据和步骤？2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法二、讲授新课：1、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法奎屯王新敞新疆综合法又叫顺推证法或由因导果法。用综合法证明不等式的逻辑关系是：12nABBBB例1、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：abcbacacbcba6)()()(222222.分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明）解： a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc.①同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③因为a,b,c为不全相等的正数，所以以上三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.点评：（1）综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。（2）在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧..3)5()0(2);0(2;2:)0,0(2)4(;2)3(;0)2(;0)1(:32222abccbaababbaababbabaabbaabbaabbaaa它的变形式有有利用综合法常用不等式变式训练：已知a,b,c是不全相等的正数，求证：cabcabcba222例2、已知12,,,,naaaR且121naaa，求证：12(1)(1)(1)2nnaaa分析：观察要证明的结论，左边是n个因式的乘积，右边是2的n次方，再结合121naaa，发现如果能将左边转化为12,,,naaa的乘积，问题就能得到解决。2、分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法奎屯王新敞新疆这是一种执果索因的思考和证明方法。①用分析法证明不等式的逻辑关系是：12nBBBBA②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故B必真。例3．求证：6372分析：观察结构特点，可以利用分析法。点评：①分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变用心爱心专心1形,分析时贵在变形,不通思变,变则通!②证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难，常用分析法.③在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思想方法.例4、已知,,0abc，求证：222222abbccaabcabc分析：要证的不等式可以化为222222()abbccaabcabc即222222222abbccaabcbaccab观察上式，左边各项是两个字母的平方之积，右边各项涉及三个字母，可以考虑用2222()2xyzxyz三、课堂练习：1、已知a,b,c,d∈R,求证：ac+bd≤))((2222dcba分析一：用分析法证法一：(1)当ac+bd≤0时,显然成立奎屯王新敞新疆(2)当ac+bd>0时,欲证原...