第十一课时函数的奇偶性（2）用心爱心专心听课随笔【学习导航】学习要求1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．【精典范例】一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=)(1xf在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1－x2>0因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)f(x1)>0于是F(x1)－F(x2)=)(11xf－)(12xf所以F(x)=)(1xf在(－∞，0)上是减函数。【证明】设120xx，则120xx，∵()fx在[0,)上是增函数，∴12()()fxfx，∵()fx是奇函数，∴11()()fxfx，22()()fxfx，∴12()()fxfx，∴12()()fxfx，∴()fx在(,0]上也是增函数．说明：一般情况下，若要证()fx在区间A上单调，就在区间A上设12xx．二．利用函数奇偶性求函数解析式：例2：已知()fx是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x|x－2|所以f(－x)=－x|－x－2|=－x|x+2|又f(x)是奇函数，有f(－x)=－f(x)所以－f(x)=－x|x+2|所以f(x)=x|x+2|故当x<0时F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.3：定义在（－2，2）上的奇函数)(xf在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，求实数m的取值范围．解：因为f(m－1)+f(2m－1)>0所以f(m－1)>－f(2m－1)因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数所以f(m－1)>f(1－2m)所以2122122112mmmm所以21f(a2－a+1)D．与a的取值无关2.定义在1,1上的奇函数21xmfxxnx，则常数m０，n０；3.函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若fafa()()1102，求实数a的范围。解：定义域是即又是奇函数在上是增函数即解之得故a的取值范围是思维点拔：一、函数奇偶性与函数单调性关系若函数()yfx是偶函数，则该函数在关于＂０＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数()yfx是奇函数，则该函数在关于＂０＂对称区间上的点调性是相同的．追踪训练1．已知()yfx是偶函数，其图象与x轴共有四个交点，则方程()0fx的所有实数解的和是（C）()A4()B2()C0()D不能确定2.定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a)bC.|a|<|b|D.0≤ab≥03.是奇函数，它在区间[]mn，（其中0mn）上为增函数，则它在区间[]nm，上（D）A.是减函数且有最大值B.是减函数且有最小值C.是增函数且有最小值D.是增函数且有最大值4已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(－5)=－15，则f(5)=31．5．定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且。（1）求证f()01；（2）求证：yfx()是偶函数。解（1）令，则有（2）令，则有这说明是偶函数【师生互动】学生质疑教师释疑听课随笔
