2016.62016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测二MATHEMATICS](本卷满分:200分考试时间:150分钟)(高一试卷)第一部分(共2小题,每题25分,计50分)I.设集合6102,,,含的十进制表示中数码不xxAN.证明:31Axx.II.如图,给定凸四边形ABCD,180DB,P是平面上的动点,令ABPCCAPDBCPAPf.⑴求证:当Pf达到最小值时,CBAP、、、四点共圆;⑵设E是ABC外接圆O的AB上一点,满足:23ABAE,13ECBC,ECAECB21,又DCDA,是O的切线,2AC,求Pf的最小值.第二部分(共2大题,计150分)一、填空题(共15小题,每题6分,计90分).1.设5021aaa,,,,5021bbb,,,为互不相同的数,则关于x的方程:检测范围:高中必修一、四、五及必修二立体几何部分第II题501501iiiibxax的所有有限个实根的个数最大值为.2.在平面直角坐标系中,点集06363yxyxyx,所对应的平面区域的面积为.3.如图,设ABCDS是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥,K是棱SC的中点,过AK作平面与线段SB,SD分别交于M,N(M,N可以是线段的端点).则四棱锥AMKNS的体积V的值域为.4.已知abc=-1,122cbca,则代数式555cabcab的值为.5.在ABC中,60A,点P为ABC所在平面上一点,使得PA=6,PB=7,PC=10,则ABCS的最大值为.6.在数列na中,11a,前n项和为nS,1241naSnn,则2013a的值为.7.用s表示非空整数集S中所有元素的和,设1121aaaA,,,是正整数集,且1121aaa,若对每个正整数1500n,存在A的子集S,使得ns,则满足上述要求的10a的最小值为.8.设zyx、、是3个不全为零的实数,则2222zyxyzxy的最大值为.9.实数a使得对任意实数54321xxxxx,,,,,不等式14151iiiiixxax都成立,则a的最大值为.10.设dcxbxaxxf23对任意11,x,总有1xf.则dcba的最大值为.11.两个平行平面α和β将四面体截成三部分.已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积,点A和B到平面α的距离分别为30和20.而点A和C到平面β的距离分别为20和16,两个截面中有一个是梯形,点D到平面α的距离小于24.则平面α和β截四面体所得的截面面积之比为.12.空间四个球,它们的半径分别是2、2、3、3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这四个球都相切,则这个小球的半径为.13.钝角ABC的内角CBA、、的对边分别为cba、、,且满足CbBcacoscos2,RCBCBAsinsinsinsinsin222,则的值域为.14.若存在整数k,使得knnn22313对所有正整数2n恒成立,则k的最大值为.15.有n个砝码(重量可以相同)可以将它们分成4组,使得每组的重量之和相同;也可以将它们分成5组,使得每组的重量之和相同;还可以将它们分成9组,使得每组的重量之和相同.则n的最小可能值为.三、解答题(本大题分3小题,每题20分,计60分).16.(本题满分20分)证明:任意一个四面体总有一个顶点,由这个顶点出发的三条ABCDKSMN棱可以构成一个三角形的三边.17.(本题满分20分)正整数数列na满足:12211nnnaaaa,.证明:数列的任何两项皆互质.18.(本题满分20分)求最小常数a>1,使得对正方形ABCD内部任一点P,都存在PAB,PBC,PCD,PDA中的某两个三角形,使得它们的面积之比属于区间][1aa,.2016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测二参考答案MATHEMATICSExaminationpaperreferenceanswer](本卷满分:200分)第一部分(共2小题,每题25分,计50分)I.II.解⑴如图,由托勒密不等式,对平面上的任意点P,有PABCPCABPBAC.因此()fPPABCPCABPDCAPBCAPDCA()PBPDCA.因上面不等式当且仅当PABC、、、顺次共圆时取等号,因此当且仅当P在ABC的外接圆且在AC上时,()()fPPBPDCA.又因PBPDBD,此不等式当且仅当,,BPD共线且P在BD上时取等号.因此当且仅当P为ABC的外接圆与BD的交点时,Pf取最小值min()fPACBD.故当Pf达最小值时,CBAP、、、四点共圆.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分⑵记ECB,则2ECA,由正弦定理有sin23sin32AEAB,从而3sin32sin2,即33(3sin4sin)4sincos,所以23343(1cos)4cos0,整理得243cos4cos30,解得3cos2或1cos23(舍去),故30,60ACE.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分由已知31BCEC=0sin30sinEACEAC,有sin(30)(31)sinEACEAC,即31sincos(31)sin22EACEACEAC,整理得231sincos22EACEAC,故1tan2323EAC,可得7...