第57卷第9期2008年9月10003290／2008／57(09)／5369．．05物理学报ACTAPHYSICASINICAVo1．57，No．9，September，2008⑥2008Chin．Phys．Soc．Lagrange系统Lie点变换下的共形不变性与守恒量*蔡建乐梅凤翔1)(杭州师范大学理学院，杭州310018)2)(北京理工大学理学院，北京100081)(2007年12月4日收到；2007年l2月28日收到修改稿)研究Lagrange系统Lie点变换下的共形不变性与守恒量，给出Lagrange系统的共形不变性定义和确定方程，讨论系统共形不变性与Lie对称性的关系，得到在无限小单参数点变换群作用下系统共形不变性同时是Lie对称性的充要条件，导出系统相应的守恒量，并给出应用算例．关键词：Lagrange系统，“e点变换，共形不变性，守恒量PACC：03201．引言动力学系统的对称性与守恒量的研究，在现代数理科学中占有重要的地位，也是分析力学的一个近代发展方向．1918年Noether研究了力学系统Hamilton作用量泛函在时空无限小单参数变换群作用下的不变性，发现作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应，首次揭示了力学系统守恒量与其内在的动力学对称性之间的潜在关系，建立了Noether对称性理论’．20世纪70年代，人们发现并不是所有的对称性都是Noether的，于是出现了Lie对称性．本世纪初提出了一种新的对称性——形式不变性，人们称为Mei对称性，．Noether对称性是Hamilton作用量在群的无限小变换下的不变性，Lie对称性是微分方程在群的无限小变换下的一种不变性，Mei对称性是指系统的运动方程中的动力学函数在群的无限小变换下使原方程保持形式不变．三种对称性可直接导致守恒量，也可间接导致守恒量．它们导致的守恒量主要有Noether守恒量、Hojman守恒量和Mei守恒量(也称新型守恒量)“．动力学系统的守恒量在力学研究中起着重要作用，甚至在系统的运动微分方程不可积分的情况下，某个守恒量的存在也可以使我们对所研究的局部物理状态有所了解．因此，对称性与守恒量已成为力学领域的热门课题¨，文献[12]对各种约束力学系统的上述三种主要对称性与三类守恒量进行了全面、系统的研究；Galiullin等人研究了Birkhoff系统的共形不变性并导出了Noether守恒量．本文研究Lagrange系统Lie点变换下的共形不变性及系统的守恒量，并给出一个例子说明本文结果的应用．2．共形不变性对于具有n个自由度的Lagrange系统，其运动微分方程有如下形式：一3L=0(S=1，⋯，n)，(1)式中q为系统的广义坐标，为系统的广义速度．将(1)式展开为显形式，则有；A(，q)+B(t，q，)=0(8，k=l，⋯，n)．(2)若(1)式非奇异，即det()≠。，则由(1)式可求得广义加速度=a(￡，q，)(s=1，⋯，n)．(3)寻求Lagrange系统的对称性，也就是寻求方程(1)或(2)共形不变所对应的独立或非独立变量的变换集．考虑方程(2)的对称性，为此，取时间t和广义*国家自然科学基金(批准号：10572021，10772025)和高等学校博士学科点专项科研基金(批准号：20040007022)资助的课题十E·mail：caijianle@yahoo．corn．cn维普资讯http://www.cqvip.com物理学报57卷坐标q的无限小单参数点变换群t=t+△，g(t)=q(t)+Aq，(4)其展开式为t=t+￡0(t，口)，g(t)=q(t)+e(t，q)，(5)其中e为无限小参数，e。，为群的无限小变换的生成元或生成函数．引入无限小生成元向量∞=。蔷十杀，(6)其一次扩展“=X‘。+(毒一。)，(7)aq二次扩展‘：‘。+(葶一2。一享。)．(8)ag定义对于非奇异矩阵z，使得X()=z(F)，(9)则方程(2)在无限小单参数点变换(5)作用下是共形不变的，(9)式是方程(2)的共形不变的确定方程，其中z为共形因子．3．共形不变性的一般方式为得到共形不变性的共形因子表达式，计算差值X‘’(F)一()I⋯(10)由于：萼+(s：01一，n)，(11)+qLu，，⋯，’¨擎+2“qj+g+9+g(s=0，1，⋯，n；，J=1，⋯，n)，(12)因此X()=A(莩一2。一。)+‘(A)+X‘(B)=A(莩一2。一。)+X‘。(A。)+X‘。(B)+(一)(+2++)+grg瓦gJ一(+)(+2，+rq+)+g+grJ+X‘。(A)+X‘。(B)+【薯+差一(+)】豢+【+qr—gI+qrJJ(暮一2A(+，)+X。(A)+c(t，g，)，(13)式中C(t，g，)为其余不含项的代数和．同理可得X‘()IF：。(一(+)+X∞(A)口+C(t，q，)，(14)式中a=一A'kB．(13)，(14)式有如下结果：...
