第3讲等比数列及其前n项和一、填空题1．设数列{a}前n项和为Sn，a1＝t，a2＝t2，Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，则{an}是________数列，通项an＝________.解析由Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，得Sn＋2－Sn＋1＝t(Sn＋1－Sn)，所以an＋2＝tan＋1，所以＝t，又＝t，所以{an}成等比数列，且an＝t·tn－1＝tn.答案等比tn2．等比数列{an}的前n项和为Sn,8a2＋a5＝0，则＝________.解 8a2＋a5＝8a1q＋a1q4＝a1q(8＋q3)＝0∴q＝－2∴＝＝1＋q3＝－7.答案－73．数列{an}为正项等比数列，若a2＝2，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N，n≥2)，则此数列的前4项和S4＝________.解析由a1q＝2，a1qn－1＋a1qn＝6a1qn－2，得qn－1＋qn＝6qn－2，所以q2＋q＝6.又q＞0，所以q＝2，a1＝1.所以S4＝＝＝15.答案154．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为________．解析 a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知2＝×4t，显然t≠0，所以t＝5.答案55．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2≥的最大正整数n的值为________．解析由等比数列的性质，得4＝a2·a4＝a(a3＞0)，所以a3＝2，所以a1＋a2＝14－a3＝12，于是由解得所以an＝8·n－1＝n－4.于是由an·an＋1·an＋2＝a＝3(n－3)＝n－3≥，得n－3≤1，即n≤4.答案46．在等比数列{an}中，an>0，若a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．解析由已知a1a2·…·a7a8＝(a4a5)4＝16，所以a4a5＝2，又a4＋a5≥2＝2(当且仅当a4＝a5＝时取等号)．所以a4＋a5的最小值为2.答案27．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝________.解析 {an}是递增的等比数列，∴a3a7＝a2a8＝2，又 a2＋a8＝3，∴a2，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a2＝1，a8＝2，∴q6＝＝2，∴q3＝，∴＝q3＝.答案8．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为________．解析由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.故q≥，即q的最小值为.答案9．已知数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.解析由lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)得lgxn＋1－lgxn＝1，∴＝10，∴数列{xn}是公比为10的等比数列，∴xn＋100＝xn·10100，∴x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋x3＋…＋x100)＝10100，∴lg(x101＋x102＋…＋x200)＝lg10100＝100.答案10010．已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b2，2a4＝b3，且存在常数α，β，使得an＝logαbn＋β对每一个正整数n时成立，则αβ＝________.解析由题意，可设an＝2＋(n－1)d，bn＝qn－1，于是由得解得所以an＝2n，bn＝22n－2，代入an＝logαbn＋β，得2n＝(2n－2)logα2＋β，即2n(1－logα2)＝β－2logα2，所以解得故αβ＝22＝4.答案4二、解答题11．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求数列{an}的通项公式；[来源:Zxxk.Com](2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.解(1)设等差数列{an}的公差是d.依题意a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，从而d＝－3.由a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1.所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.(2)由数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，[来源得an＋bn＝cn－1，即－3n＋2＋bn＝cn－1，所以bn＝3n－2＋cn－1.所以Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)＝＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)．从而当c＝1时，Sn＝＋n＝.当c≠1时，Sn＝＋.[来源:Z*xx*k.Com]12．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝17.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在最小的正整数m，使得n≥m时，an>恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．解(1)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以得＝1，＝17.相除得＝17，解得q4＝16.所以q＝2或q＝－2(舍去)．由q＝2可得a1＝，所以an＝.(2)由an＝>，得2n－1>2011，而210<2011<211，所以n－1≥11，即...
