第六章 定积分应用VIP免费

第六章定积分应用定积分的元素法定积分在几何学上的应用定积分在物理学上的应用定积分的几何应用平面图形的面积体积平面曲线的弧长Ｏxy第三节定积分在物理学上的应用定积分物理应用之一变力沿直线作功问题从物理学知道，若物体在作直线运动过程F中受常力作用从a移至b（力的方向与物体运动方向一致），力对物体所作的功为问题的提出：ab)(abFWF若为变力，力对物体所作的功W=？F解:在上述移动过程中，电场例1带电量为q0与q1的正电荷分别放在空间两点，求当q1沿a与b连线从a移到b时电场力所作的功。如图建立坐标系：aborq0q1对q1作用力是变化的。(i)取r为积分变量，则],[bar(ii)相应于[a,b]上任一小区间[r,r+dr]的功元素drrqqkdrFdW210(iii)所求功drrqqkWba210)11(10baqkqbarqkq)1(10解:等温条件下，压强p与体积V的乘积为常数，即pV=k而F=pS例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体。在等温条件下，由于气体膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S）从点a推移至b，计算在移动过程中气体压力所作的功。如图建立坐标系，活塞位置可用坐标x表示。ab注意到气体膨胀过程中V=V(x)即F=F(x),故采用元素法。(i)取x为积分变量，则],[bax(ii)相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]的功元素(iii)所求功dxxkWbaabklnbaxk][lnoxxx+dxpSdxSdxVkSdxxSkdxxkdxFdW解:如图选取x轴。(i)取x为积分变量，则]5,0[x(ii)相应于[0,5]上任一小区间[x,x+dx]的一薄层水的重力为(iii)所求功dxxW502.88)(3462kJ502]2[2.88xxdx238.9xdx2.88xVdW例3一圆柱形的储水桶高5米，底圆半径3米，桶内盛满了水。问把桶内的水全部吸出需作多少功？（水的比重为）3/8.9mkNdxV23这薄层水吸出桶外需作之功近似为x3m5moxx+dx解:如图建立坐标系。(i)取x为积分变量，则],[rrx(iii)所求功dxxrxrWrr))((22434r(ii)相应于小区间[x,x+dx]，对应薄片由A升至B在水中行程为r+x,在水上的行程为2r-(r+x)=r-x。])([)(2dxxyxrdW思考练习半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同。欲将球从水中取出，需作多少功？（水的比重为）由于球的比重与水相同，薄片所受浮力与重力合力为零，不作功，由水面再上升到B时需作功，即功元素yxorAB2rdxxrxr))((22定积分物理应用之二水压力从物理学知道，在水深为h处的压强为问题的提出：ApP若平板铅直放置在水中，平板一侧所受的水压力P=？p=h（为水的比重）。xhA因此，一面积为A的平板水平放置在水深为h处时，其一侧所受的水压力为定积分元素法问题的解决方法：dxxxfdP)(设平板铅直位于液体中形状如图。距离液面x、高为dx、宽为f(x)的矩形平板所受压力的近似值，即压力元素为以液面为y轴，x轴铅直向下。xyoaby=f(x)dxxxfPba)(所求压力xx+dx（为液体比重）解:依题意，如图建立坐标系。则端面周界方程为：(i)取x为积分变量，则],0[Rx(iii)所求压力dxxRxPR0222323R(ii)相应于[0,R]上任一小区间[x,x+dx]的窄条上各点压强xdxxR222)0(222RxRyxdxxRxdP222例4一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水（如图1）。设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一个端面上所受的压力。xx+dxxyoR，窄条面积近似于，即压力元素为解:如图建立坐标系,则腰OB的方程为：(i)取x为积分变量，则]6,0[x(iii)所求压力dxxxP60)3(34)(65.1N(ii)相应于[0,6]上任一小区间[x,x+dx]的窄条上各点压强)3(xdxx)32(2xy32dxxxdP)3(34例5一个底为8cm，高为6cm的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm，试求它每面所受的压力（水的比重为）。窄条面积压力元素xyoAB(6,4)xx+dx解:如图建立坐标系。(i)取x为积分变量，则]sin,[bhhx(iii)所求压力dxxPbhhasinsin)sin2(2bhah(ii)相应于小区间[x,x+dx]，对应薄板的宽为sindxsindxaxdP思考练习边长为a和b的矩形薄板，与液面成角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深h处，...