试题习题，尽在百度百度文库，精选试题升级增分训练导数的综合应用（二）1．已知函数f(x)＝(ax2－x＋a)ex，g(x)＝blnx－x(b＞0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝12时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈1,2]，使f(x1)＋g(x2)≥0成立，求实数b的取值范围．解：(1)由题意得f′(x)＝(x＋1)(ax＋a－1)ex．当a＝0时，f′(x)＝－(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．当a≠0时，令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝－1＋1a，当a＞0时，因为－1＋1a＞－1，所以f(x)在(－∞，－1)和－1＋1a，＋∞上单调递增，在－1，－1＋1a上单调递减；当a＜0时，因为－1＋1a＜－1，所以f(x)在－∞，－1＋1a和(－1，＋∞)上单调递减，在－1＋1a，－1上单调递增．(2)由(1)知当a＝12时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，因此f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)＝0．由题意知，对任意x1∈(0,2)，存在x2∈1,2]，使g(x2)≥－f(x1)成立，因为－f(x1)]max＝0，所以blnx2－x2≥0，即b≥x2lnx2．试题习题，尽在百度百度文库，精选试题令h(x)＝xlnx，x∈1,2]，则h′(x)＝lnx－1lnx2＜0，因此h(x)min＝h(2)＝2ln2，所以b≥2ln2，即实数b的取值范围是2ln2，＋∞．2．(2017·南昌模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax2－a＋2(a∈R，a为常数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若存在x0∈(0,1]，使得对任意的a∈(－2,0]，不等式mea＋f(x0)＞0(其中e为自然对数的底数)都成立，求实数m的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2ax＝1－2ax2x，当a≤0时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，由f′(x)≥0且x＞0，解得0＜x≤12a，所以函数f(x)在区间0，12a上单调递增，在区间12a，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a∈(－2,0]时，函数f(x)在区间(0,1]上单调递增，所以x∈(0,1]时，函数f(x)的最大值是f(1)＝2－2a，对任意的a∈(－2,0]，都存在x0∈(0,1]，不等式mea＋f(x0)＞0都成立，等价于对任意的a∈(－2,0]，不等式mea＋2－2a＞0都成立，不等式mea＋2－2a＞0可化为m＞2a－2ea，记g(a)＝2a－2ea(a∈(－2,0])，试题习题，尽在百度百度文库，精选试题则g′(a)＝2ea－2a－2eae2a＝4－2aea＞0，所以g(a)的最大值是g(0)＝－2，所以实数m的取值范围是(－2，＋∞)．3．已知函数f(x)＝a＋lnxx在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求实数a的值及f(x)的极值；(2)是否存在区间t，t＋23(t＞0)使函数f(x)在此区间上存在极值点和零点？若存在，求出实数t的取值范围，若不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝1x·x－a＋lnxx2＝1－a－lnxx2(x＞0)． f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，∴f′(1)＝1－a－ln1＝0．解得a＝1．∴f(x)＝1＋lnxx，f′(x)＝－lnxx2，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值1，无极小值．(2) x＞1时，f(x)＝1＋lnxx＞0，当x→0时，f(x)→－∞，由(1)得f(x)在(0,1)上单调递增，由零点存在性定理，知f(x)在区间(0,1)上存在唯一零点．函数f(x)的图象如图所示． 函数f(x)在区间t，t＋23(t＞0)上存在极值点和零点，试题习题，尽在百度百度文库，精选试题∴0＜t＜1，t＋23＞1，ft＝1＋lntt＜0，即0＜t＜1，t＋23＞1，t＜1e，解得13＜t＜1e．∴存在符合条件的区间，实数t的取值范围为13，1e．4．(2017·沈阳质监)已知函数f(x)＝12x2－alnx＋b(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为3x－y－3＝0，求实数a，b的值；(2)若x＝1是函数f(x)的极值点，求实数a的值；(3)若－2≤a＜0，对任意x1，x2∈(0,2]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤m1x1－1x2恒成立，求m的最小值．解：(1)因为f(x)＝12x2－alnx＋b，所以f′(x)＝x－ax，因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为3x－y－3＝0，所以f′1＝3，f1＝0，即1－a＝3，12＋b＝0，解得a＝－2，b＝－12.(2)因为x＝1是函数f(x)的极值点，所以f′(1)＝1－a＝0，所以a＝1．当a＝1时，f(x)＝12x2－lnx＋b，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－1x＝x2－1x＝x－1x＋1x，当0＜x＜1时...
