试题习题，尽在百度百度文库，精选试题板块命题点专练（四）命题点一导数的运算及几何意义命题指数：☆☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题1.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.解析： f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． 切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.答案：12．(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，所以当x>0时，f′(x)＝1x－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.答案：y＝－2x－13．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析：法一： y＝x＋lnx，∴y′＝1＋1x，y′|x＝1＝2.∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，试题习题，尽在百度百度文库，精选试题∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．由y＝2x－1，y＝ax2＋a＋2x＋1，消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax20＋(a＋2)x0＋1)． y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．由2ax0＋a＋2＝2，ax20＋a＋2x0＋1＝2x0－1，解得x0＝－12，a＝8.答案：8命题点二导数的应用命题指数：☆☆☆☆☆难度：高、中题型：选择题、填空题、解答题1.(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．2，＋∞)D．1，＋∞)解析：选D因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－1x≥0恒成立，即k≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<1x<1，所以k≥1.故选D.2.(2016·全国乙卷)若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．－1,1]B.－1，13试题习题，尽在百度百度文库，精选试题C.－13，13D.－1，－13解析：选Cf′(x)＝1－23cos2x＋acosx＝1－23(2cos2x－1)＋acosx＝－43cos2x＋acosx＋53，f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立，令cosx＝t，t∈－1,1]，则－43t2＋at＋53≥0在－1,1]上恒成立，即4t2－3at－5≤0在－1,1]上恒成立，令g(t)＝4t2－3at－5，则g1＝4－3a－5≤0，g－1＝4＋3a－5≤0，解得－13≤a≤13，故选C.3．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A设y＝g(x)＝fxx(x≠0)，则g′(x)＝xf′x－fxx2，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0
0，得g(x)<0，由图知x<－1，试题习题，尽在百度百度文库，精选试题∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈0，1a时，f′(x)>0；当x∈1a，＋∞时，f′(x)<0.所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a>0时，f(x)在x＝1a处取得最大值，最大值为f1a＝ln1a＋a1－1a＝－lna＋a－1.因此f1a>2a－2等价于lna＋a－1<0.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当01时...
