2019年中考数学云南专版总复专项突破汇编--（4）圆的综合型问题1/20备战2019中考初中数学六大题型专项突破专题四:圆的综合型问题【方法指导】圆的综合型问题往往离不开圆的切线、直径、圆周角，易产生直角三角形、等腰三角形或者等边三角形、形成全等三角形和相似三角形，从而产生综合型较强的问题。主要理解策略有：理解圆的切线的性质，圆周角定理、垂径定理，会根据这些定理作出辅助线，构造直角三角形，再直角三角形中利用勾股定理、锐角三角形函数解决问题。【典例解析】类型一：与切线相关的综合题【例1】．（2018东营）（8.00分）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．【分析】（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；（2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示． OB=OD，∴∠OBD=∠ODB． CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．2019年中考数学云南专版总复专项突破汇编--（4）圆的综合型问题2/20 AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（2）解： ∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴=． BD=AD，∴=，∴=，又 AC=3，∴CD=2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出∠CAD=∠BDC；（2）利用相似三角形的性质找出．类型二：与三角函数相关的综合题【例2】（2018广西贵港）（8.00分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=10，cos∠BAC=，求BD的长及⊙O的半径．2019年中考数学云南专版总复专项突破汇编--（4）圆的综合型问题3/20【分析】（1）如图1，作直径BE，半径OC，证明四边形ABDC是平行四边形，得∠A=∠D，由等腰三角形的性质得：∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，可得∠EBD=90°，所以BD是⊙O的切线；（2）如图2，根据三角函数设EC=3x，EB=5x，则BC=4x根据AB=BC=10=4x，得x的值，求得⊙O的半径为，作高线CG，根据等腰三角形三线合一得BG=DG，根据三角函数可得结论．【解答】（1）证明：如图1，作直径BE，交⊙O于E，连接EC、OC，则∠BCE=90°，∴∠OCE+∠OCB=90°， AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠A=∠D， OE=OC，∴∠E=∠OCE， BC=CD，∴∠CBD=∠D， ∠A=∠E，∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE， OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC+∠CBD=90°，即∠EBD=90°，∴BD是⊙O的切线；（2）如图2， cos∠BAC=cos∠E=，设EC=3x，EB=5x，则BC=4x，2019年中考数学云南专版总复专项突破汇编--（4）圆的综合型问题4/20 AB=BC=10=4x，x=，∴EB=5x=，∴⊙O的半径为，过C作CG⊥BD于G， BC=CD=10，∴BG=DG，Rt△CGD中，cos∠D=cos∠BAC=，∴，∴DG=6，∴BD=12．类型三：与相似三角形相关的综合题【例3】（2018山东淄博）（8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．（1）求证：PA?BD=PB?AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．2019年中考数学云南专版总复专项突破汇编--（4）圆的综合型问题5/20【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案．（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积．【解答】解：（1） DP平分∠APB，∴∠APE=∠BPD， AP与⊙O相切，∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°， AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，∴∠EAP=∠B，...
