百度文库，精选试题试题习题，尽在百度专题复习(六)几何综合题1．(2016·德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．(1)如图1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD.点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)图1图2解：(1)证明：连接BD. E、H分别是AB、AD的中点，∴EH＝12BD，EH∥BD. F、G分别是BC、CD的中点，∴FG＝12BD，FG∥BD.∴EH＝FG，EH∥FG.∴中点四边形EFGH是平行四边形．(2)中点四边形EFGH是菱形．证明：连接AC、BD. ∠APB＝∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠BPD＝∠APC.又 PA＝PB，PC＝PD，∴△APC≌△BPD(SAS)．∴AC＝BD. 点E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，∴EF＝12AC，FG＝12BD.∴EF＝FG.又 四边形EFGH是平行四边形，∴中点四边形EFGH是菱形．图3(3)当∠APB＝∠CPD＝90°时，如图3，AC与BD交于点O，BD与EF，AP分别交于点M，Q，中点四边形EFGH是正方形．理由如下：由(2)知：△APC≌△BPD，∴∠PAC＝∠PBD.又 ∠AQO＝∠BQP，∴∠AOQ＝∠APB＝90°.又 EF∥AC，∴∠OMF＝∠AOQ＝90°.又 EH∥BD，∴∠HEF＝∠OMF＝90°.又 四边形EFGH是菱形，百度文库，精选试题试题习题，尽在百度∴中点四边形EFGH是正方形．2．(2016·菏泽)如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.(1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数；(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE＝23CM＋233BN.图1图2解：(1)①证明： ∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE. ∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，∴∠ACB＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE.②由①得△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC＝180°－∠CDE＝130°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.(2)证明：在等腰△DCE中， CD＝CE，∠DCE＝120°，CM⊥DE，∴∠DCM＝12∠DCE＝60°，DM＝EM.在Rt△CDM中，DM＝CM·tan∠DCM＝CM·tan60°＝3CM，∴DE＝23CM.由(1)，得∠ADC＝∠BEC＝150°，AD＝BE，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝120°.∴∠BEN＝60°.在Rt△BEN中，BE＝BNsin60°＝233BN.∴AD＝BE＝233BN.又 AE＝DE＋AD，∴AE＝23CM＋233BN.3．(2016·东营)如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H，交AF于点N.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图1图2图3解：(1)BD＝CF成立．证明： AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝θ，AD＝AF，∴△ABD≌△ACF(SAS)．∴BD＝CF.百度文库，精选试题试题习题，尽在百度(2)①证明：由(1)得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN.又 ∠HNF＝∠AND，∴∠NHF＝∠NAD＝90°.∴HD⊥HF，即BD⊥CF.②连接DF，延长AB交DF于点M.在△MAD中， ∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°. AD＝32，四边形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝322＝3，FD＝6.∴MB＝3－2＝1，DB＝12＋32＝10.在Rt△BMD和Rt△FHD中， ∠MDB＝∠HDF，∴△BMD∽△FHD.∴MDHD＝BDFD，即3HD＝106.∴DH＝9105.4．(2016·宁夏)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0＜x≤3)，解答下列问题：(1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；(2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．解：(1) 四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝4，C...
