2019高考数学常考题型专题04数列问题文VIP专享VIP免费

专题04数列问题1．（2018新课标全国Ⅱ文科）记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a，315S．（1）求{}na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值．【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．2．（2018新课标全国I文科）已知数列na满足11a，121nnnana，设nnabn．（1）求123bbb，，；（2）判断数列nb是否为等比数列，并说明理由；（3）求na的通项公式．【解析】（1）由条件可得an+1=2(1)nnan．将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．从而b1=1，b2=2，b3=4．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.3．（2018新课标全国Ⅲ文科）等比数列{}na中，15314aaa，．（1）求{}na的通项公式；（2）记nS为{}na的前n项和．若63mS，求m．4．（2017新课标全国Ⅰ文科）记Sn为等比数列na的前n项和，已知S2=2，S3=-6．（1）求na的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．【解析】（1）设{}na的公比为q．由题设可得121(1)2,(1)6.aqaqq解得2q，12a．故{}na的通项公式为(2)nna．（2）由（1）可得11(1)22()1331nnnnaqSq．由于3212142222()2[()]2313313nnnnnnnnSSS，故1nS，nS，2nS成等差数列．1．等差数列、等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式、性质、前n项和等为考查的重点，有时会将等差数列和等比数列的通项、前n项和及性质综合进行考查.2．在高考中常出两道客观题或一道解答题，若是以客观题的形式出现，一般一道考查数列的定义、性质或求和的简单题，另一道则是结合其他知识，考查递推数列等的中等难度的题.若在解答题中出现，则一般结合等差数列和等比数列考查数列的通项，前n项和等知识，难度中等.指点1：等差数列及其前n项和1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前n项和法，即根据前n项和nS与na的关系求解.2．等差数列前n项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用1(1)=2nnnSnad；若已知通项公式，则使用1()=2nnnaaS，同时注意与性质“12132nnnaaaaaa”的结合使用.【例1】已知等差数列{}na满足9117S，719a，数列{}nb满足112niiibn.（1）求数列{}na、{}nb的通项公式；（2）求数列11{}nnnbaa的前n项和.【解析】（1）依题意，9117S，即59117a，所以513a，则7532aad，故7(7)19(7)332naandnn.因为112niiibn，所以1123242nnbbbbn①，当2n时，212312421nnbbbbn②，①②得121nnb，即112nnb.当1n时，11b满足上式.∴数列{}nb的通项公式为112nnb.指点2：等比数列及其前n项和1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用11nnaaq求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形nmnmaaq可以简化解题过程．2．当1q时，若已知1,,aqn，则用1(1)1nnaqSq-=-求解较方便；若已知1,,naqa，则用11nnaaqSq-=-求解较方便.【例2】已知等比数列{}na的各项均为正数，且26a，3472aa.（1）求数列{}na的通项公式；（2）若数列{}nb满足：*()nnbannN，求数列{}nb的前n项和nS.【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q， a2＝6，a3＋a4＝72，∴6q＋6q2＝72，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4．又 an＞0，∴q＞0，∴q＝3，212aaq．∴11*123()nnnaaqnN.（2） 123nnbn，∴221()()13(1)213331232311322－nnnnnnnnSn.指点3：数列的综合应用1．解决等差数列与等比数列的综合问题时，若同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；若两个数列是通过运算综合在一起的，则要把两个数列分开求解.2．数列常与函数、不等式结合起来考查，其中数列与不等式的结合是考查的热点，注...