1突破17竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋FN＝mRv2mg±FN＝mRv2临界特征FN＝0mg＝mmin2min即vmin＝v＝0即F向＝0FN＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()2A．小球的质量为baRB．当地的重力加速度大小为bRC．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等【答案】：ACD【典例2】用长L＝0.6m的绳系着装有m＝0.5kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。G＝10m/s2。求：(1)最高点水不流出的最小速度为多少？3(2)若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力多大？【答案】(1)2.45m/s(2)2.5N方向竖直向上【解析】(1)水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。这是最小速度即是过最高点的临界速度v0。以水为研究对象，mg＝m0解得v0＝＝m/s≈2.45m/s(2)因为v＝3m/s>v0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。V＝3m/s>v0，水不会流出。设桶底对水的压力为F，则由牛顿第二定律有：mg＋F＝mLv2解得F＝mLv2－mg＝0.5×(0.632－10)N＝2.5N根据牛顿第三定律F′＝－F所以水对桶底的压力F′＝2.5N，方向竖直向上。【跟踪短训】1.如图所示，一内壁光滑、质量为m、半径为r的环形细圆管，用硬杆竖直固定在天花板上．有一质量为m的小球(可看做质点)在圆管中运动．小球以速率v0经过圆管最低点时，杆对圆管的作用力大小为()A．m0B．mg＋m0C．2mg＋m0D．2mg－m04【答案】C2.(多选)如图所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动．对于半径R不同的圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力．下列说法中正确的有()．A．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大B．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小C．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大D．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小【答案】AD【解析】在最高点时，由mg＝mRv2可得v＝，所以半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大，A正确；由机械能守恒可知21mv2＋mg×2R＝21mv02，所以v0＝，由ω＝Rv＝R5g，故半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小，D正确．3．(多选)如图所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动．P为圆周轨道的最高点．若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为gL9，则以下判断正确的是()．5A．小球不能到达P点B．小球到达P点时的速度小于C．小球能到达P点，但在P点不会受到轻杆的弹力D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力【答案】BD4.如图所示，轻杆长为3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时()A．球B的速度为零B．球A的速度大小为C．水平转轴对杆的作用力为1.5mgD．水平转轴对杆的作用力为2.5mg【答案】C6【解析】球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m2LvB2，解得vB＝，故A错误；由于球A、B的角速度相等，则球A的速度大小vA＝21，故B错误；球B在最高点时，对杆无作用力，此...
