提能练(五)解析几何A组基础对点练1．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则()A．e1＝13e2B．e21＋13e22＝4C.1e21＋3e22＝4D．e21＋3e22＝4解析：设椭圆与双曲线的方程分别为x2a21＋y2b21＝1，x2a22－y2b22＝1，满足a21－b21＝a22＋b22＝c2，由焦点三角形的面积公式得S△F1PF2＝33b21＝3b22，故b21＝3b22，即a21－c2＝3(c2－a22)，∴1e21＋3e22＝4.答案：C2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°＜∠PF1F2＜120°，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.3－12，1B.3－12，12C.12，1D.0，12解析：由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cos∠PF1F2，即|PF2|＝22c·1－cos∠PF1F2，所以a＝|PF1|＋|PF2|2＝c＋2c·1－cos∠PF1F2，又60°＜∠PF1F2＜120°，∴－12＜cos∠PF1F2＜12，所以2c＜a＜(3＋1)c，则13＋1＜ca＜12，即3－12＜e＜12.故选B.答案：B3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(a5，0)，则椭圆的离心率e的取值范围是()A．(22，1)B．(33，1)C．(34，1)D．(55，1)解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则x1－a52＋y21＝x2－a52＋y22，x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，即2a5x1－x2＝x21－x22＋y21－y22，y21＝b2－b2a2x21，y22＝b2－b2a2x22，所以2a5(x1－x2)＝a2－b2a2(x21－x22)，所以2a35a2－b2＝x1＋x2.又－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，x1≠x2，所以－2a＜x1＋x2＜2a，则2a35a2－b2＜2a，即b2a2＜45，所以e2＞15.又0＜e＜1，所以55＜e＜1.答案：D4．(2019·合肥模拟)已知椭圆C：x22＋y2＝1，若一组斜率为14的平行直线被椭圆C所截线段的中点均在直线l上，则l的斜率为()A．－2B．2C．－12D.12解析：设平行直线中的一条直线的方程为y＝14x＋m，与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，弦AB的中点坐标为M(x，y)，由y＝14x＋m，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8mx＋16m2－16＝0，Δ＝64m2－4×9×(16m2－16)＞0，解得－324＜m＜324，∴x1＋x2＝－8m9，x1x2＝16m2－169. M(x，y)为弦AB的中点，∴x1＋x2＝2x，∴－8m9＝2x，x＝－4m9， m∈(－324，324)，∴x∈(－23，23)．由y＝14x＋m，x＝－4m9，消去m，得y＝－2x，∴直线l的方程为y＝－2x，x∈(－23，23)，∴直线l的斜率为－2，故选A.答案：A5．(2019·烟台模拟)已知F(2,0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，过F且垂直于x轴的弦长为6，若A(－2，2)，点M为椭圆上任一点，则|MF|＋|MA|的最大值为________．解析：设椭圆的左焦点为F′，由椭圆的右焦点为F(2,0)，得c＝2，又过F且垂直于x轴的弦长为6，即2b2a＝6，则a2－c2a＝a2－4a＝3，解得a＝4，所以|MF|＋|MA|＝8－|MF′|＋|MA|＝8＋|MA|－|MF′|，当M，A，F′三点共线时，|MA|－|MF′|取得最大值，(|MA|－|MF′|)max＝|AF′|＝2，所以|MF|＋|MA|的最大值为8＋2.答案：8＋26．(2019·石家庄质检)已知F为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且MF→·NF→＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________．解析：因为MF→·NF→＝0，所以MF→⊥NF→.设双曲线的左焦点为F′，则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|＝|NF′|，|MN|＝2c.不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|＝2a，所以|MF|－|NF|＝2a.因为S△MNF＝12|MF|·|NF|＝ab，所以|MF|·|NF|＝2ab.在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|＝|MN|2，所以(2a)2＋2·2ab＝(2c)2，把c2＝a2＋b2代入，并整理，得ba＝1，所以e＝ca＝1＋ba2＝2.答案：27．(2019·上饶模拟)过点M(m,0)(m＞0)作直线l，与抛物线y2＝4x，有两交点A，B，点F为抛物线的焦点，若FA→·FB→＜0，则m的取值范围是________．解析：设直线l的方程为x＝ty＋m，直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＝14y21，x2＝14y22.将l的方程代入抛物线方程，化简得y2－4ty－4m＝0，∴Δ＝16(t2＋...
