每日一题规范练(第二周)星期一2020年3月30日[题目1]已知等差数列{an}的公差d＝2，且a2＋a5＝2，{an}的前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Sm，a9，a15成等比数列，求m的值．解：(1)因为a2＋a5＝2，且d＝2，所以2a1＋5d＝2a1＋10＝2，则a1＝－4.所以an＝－4＋2(n－1)＝2n－6.(2)由(1)知，Sm＝m（a1＋am）2＝m2－5m，又a9＝12，a15＝24，由Sm，a9，a15成等比数列，得a29＝a15·Sm，所以m2－5m－6＝0(m∈N*)，则m＝6.星期二2020年3月31日[题目2]已知x0，x0＋π2是函数f(x)＝cos2ωx－π6－sin2ωx(ω＞0)的两个相邻的零点．(1)求fπ12的值；(2)若对任意的x∈－7π12，0，都有f(x)－m≤0，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程433f(x)－m＝1在x∈0，π2上有两个不同的解，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝121＋cos2ωx－π3－12(1－cos2ωx)＝1212cos2ωx＋32sin2ωx＋cos2ωx＝3232cos2ωx＋12sin2ωx＝32sin2ωx＋π3.由题意，f(x)的最小正周期T＝2×π2＝π，所以2π2ω＝π，则ω＝1.故f(x)＝32sin2x＋π3，所以fπ12＝32sinπ6＋π3＝32.(2)由f(x)－m≤0恒成立，得m≥f(x)max.因为－7π12≤x≤0，所以－5π6≤2x＋π3≤π3，所以－1≤sin2x＋π3≤32，所以f(x)max＝32×32＝34.所以m≥34，实数m的取值范围是34，＋∞.(3)原方程化为2sin2x＋π3＝m＋1在x∈0，π2上有两个不同的解，令y＝2sin2x＋π3，x∈0，π2.当x＝0时，y＝2sinπ3＝3；当x＝π12时，ymax＝2.结合函数图象，要将方程在x∈0，π2上有两个不同的解，只需3≤m＋1＜2，则3－1≤m＜1.故实数m的取值范围是[3－1，1)．星期三2020年4月1日[题目3]如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使得A，C两点重合于点M.(1)求证：MD⊥EF；(2)求三棱锥M-EFD的体积．(1)证明：因为在正方形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥BC，所以在三棱锥MDEF中，MD⊥MF，MD⊥ME且ME∩MF＝M，所以MD⊥平面MEF，又EF?平面MEF，所以MD⊥EF.(2)解：因为E、F分别是边长为2的正方形ABCD中AB、BC边的中点，所以BE＝BF＝1，所以S△MEF＝S△BEF＝12×1×1＝12.由(1)知MD⊥平面MEF，且MD＝CD＝2.所以V棱锥M-EFD＝V棱锥D-MEF＝13S△MEF·DM＝13×12×2＝13.星期四2020年4月2日[题目4]卫生防疫涉及千家万户，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵，国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床试验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到统计数据如下：项目未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40px注射疫苗60qy总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35.(1)求2×2列联表中p，q，x，y的值；(2)能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解：(1)由p40＋p＝35，得p＝60，所以q＝40，x＝100，y＝100.(2)由K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），得K2＝200×（40×40－60×60）2100×100×100×100＝8＜10.828，所以没有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效．(3)由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例3∶2抽取，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，分别用a，b，c表示，2只已注射疫苗，分别用D，E表示，从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况有(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(a，D，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，(b，D，E)，(c，D，E)，共10种．其中，至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，共7种．所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为...
