利用导数解三角函数问题VIP免费

利用导数解三角函数问题胡贵平（甘肃省白银市第九中学，甘肃白银730913）导数是研究函数性质的一种强有力工具，利用导数可解决函数单调性、极值、最值等问题，三角函数是函数的一个特例，是函数概念的下位概念，解三角函数问题时，一般思路是通过恒等变形，利用三角函数的性质求解.但是若能注意题目的特点，利用导数处理相关问题，不仅可以突破难点，开拓思路，提高解题效率，而且简单易懂，便于掌握.一、求三角函数的单调区间例1.函数，在什么区间上是增函数.解：，有，得，即，所以，，.因此函数在区间，上是增函数.点评：这是人教A版71页的一道习题，特别容易出错，原因在于忽视了函数是复合函数.利用导数解决，题目显得很常规，过程也很简洁.二、求三角函数的最值例2.若函数在区间上的最大值为6，求常数的值及此函数当时的最小值，并求相应的取值集合.解：.即.令，得.即，由于，，.所以，.当时，令，得.即，或，.所以函数的最小值为，此时取值集合为.点评：这是人教A版147页的一道习题，常见的解法是化成正弦型函数，利用单调性、有界性求最值.利用导数，不但可以求化简成一个角的一个三角函数的最值，还可以求其它类型三角函数的最值.三、求三角函数的奇偶性例3.（2013年山东数学（理））将函数sin(2)yx的图象沿x轴向左平移8个单位后,得1到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（）(A)(B)(C)0(D)解：函数sin(2)yx的图象沿x轴向左平移8个单位，得到，即是偶函数.所以为奇函数，，所以，，.所以，.当时，.点评：正（余）型函数在对称轴处若取得最值，则也取得极值，于是有.特别地，偶函数有.可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数.四、求三角函数的周期性例4.函数的最小正周期为（）(A)(B)(C)(D)解：.令得或或.当或时，，当时，.因此函数的最大值为1，由，解得，.由，解得，.根据两个相邻最高点之间的长度恰好是一个最小正周期，故函数的最小正周期为.点评：可导的周期函数，其导函数仍是周期函数，且原函数的周期是导函数的一个周期.正（余）型函数两个相邻最高点之间的长度恰好是一个最小正周期.五、求三角函数的对称性例5.若函数的图象关于直线对称，则.解：.因为函数的图象关于直线对称，所以，即，从而.点评：正（余）弦型函数既是中心对称图形也是轴对称图形，所有过最高点或最低点垂直于轴的直线都是对称轴，利用导数研究，对称轴处取得极值，其导数值为0.六、证明三角不等式例6.已知是锐角，求证.证明：设，.是锐角，.2所以在时是单调递增函数,又因为在时是连续函数，所以，所以；，所以在时是单调递减函数，又在时是连续函数，所以，所以.于是成立.点评：本题是一个三角函数中的一个性质，常见的证明方法是利用单位圆中的三角函数线，根据面积来得出大小关系，利用导数证明不等式是常见方法.七、证明三角恒等式例7.证明.证明：构造函数，则.因此必为常数函数，又.故有，所以.点评：这是人教A版143页的一道习题，通过构造函数求导数的方法，根据函数的导数值为0，则此函数一定是常数函数的性质证明三角恒等式，充分体现了导数的工具性.八、比较三角函数的大小例8.（2005年湖北数学（理））若，则与的大小关系是（）(A)(B)(C)(D)与的取值有关解：构造函数，则，令得，当时，；当时，；于是的最小值为，但，，则.所以与的大小与的取值有关.点评：本题可以取特殊值检验，结合极限的思想得出答案.比较大小最常见的方法就是构造函数，利用函数的单调性比较.解决函数单调性最好的工具之一就是导数.3