15M倍长中线与截长补短题型一：倍长中线思路导航■定义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍.其目的是构造一对对顶的全等三角形；A其本质是转移边和角.B「C7E其中BD=CD，延长AD使得DE=AD，则△BDECDA.例题精讲【例1】已知AABC中，AD平分ZBAC,且BD=CD，求证：AB=AC.典题精练【例2】⑴如下左图，已知AABC中，AB=AC,CE是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB.给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③ZACE=ZBCD；④CB平分ZDCE,则以上结论正确的是.(2)如下右图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；②AB+AE>2AD；③AD+AC>2AE；④AB+AOAD+AE,则以上结论正确的是.A16【例3】如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AF=EF，求证：AC=BE.【例4】在正方形ABCD中，PQ丄BD于P,M为QD的中点，试探究MP与MC的关系.题型二：截长补短思路导航定义截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB上截取AD=AC补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等\D延长AC，使得AD=AB17例题精讲【例5】在AABC中，ZA的平分线交BC于D,AB=AC+CD,ZB=40。，求ZC的大小.典题精练【例6】如图，在AABC中，ZB=2ZC,ZBAC的平分线AD交BC于点D.求证：AB+BD=AC.【例7】已知：在AABC中，AB=CD-BD，AD丄BC，求证：ZB=2ZC.【例18训练训练已知：正方形ABCD中，ZMAN=45°,绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N.⑴如图1,当ZMAN绕点A旋转到BM=DN时,有BM+DN=MN.当ZMAN绕点A旋转到BM丰DN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；⑵当ZMAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明.已知AD为AABC的中线，ZADB、ZADC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证：BE+CF>EF.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分ZDAE，求证：AE=EC+CDDCCE19训练3.如图，AABC中，AB=AC,ZA=108。,BD平分ZABC交AC于D点.求证:BC=AC+CD.训练4.五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180°，求证：AD平分ZCDE.复习巩固题型一倍长中线课后演练【演练1】在AABC中，AB=5,AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【演练2】在Rt△ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上,满足ZDFE=90。.若AD=3，BE=4，则线段DE的长度为.20题型二截长补短课后演练【演练3】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作ZDMN=60。，射线MN与ZDBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系？（提示：过点M作MG〃BD交AD于点G）【演练4】如图所示，已知AABC中，AC=BC,ZC=90。,AD平分ZBAC,求证:AC+CD=AB.【演练5】已知：如图，ABCD是正方形，ZFAD=ZFAE.求证：BE+DF=AE.
