-1-/2微专题(十八)数学运算——巧用平面向量的坐标运算数学运算包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．[例]如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量AP→＝mAB→＋nAD→(m，n为实数)，则m＋n的取值范围是()A.1－24，2＋24B.34，2＋24C.34，94D.1－24，94解析：如图建立平面直角坐标系，则AB→＝(4,0)，AD→＝(0,4)，AP→＝mAB→＋nAD→＝(4m,4n)，设Q(4，t)，t∈[0,4]则P在圆(x－4)2＋(y－t)2＝1上，设P(4＋cosθ，t＋sinθ)，则4＋cosθ＝4m，t＋sinθ＝4n，4m＋4n＝4＋t＋2sinθ＋π4，当t＝0，θ＝5π4时，m＋n取得最小值1－24，当t＝4，θ＝π4时，m＋n取得最大值2＋24，所以m＋n的取值范围是1－24，2＋24.答案：A名师点评(1)利用图形中现成的垂直关系若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系；(2)利用图形中的对称关系图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．[变式练]如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点．动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP→＝xOA→＋yOB→，则x＋y的取值范围是()-2-/2A.[]－4，4B.[]－21，21C.[]－5，5D.[]－6，6微专题(十八)变式练解析：如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，i为x轴正方向的单位向量，j为y轴正方向的单位向量，则OB→＝i，OA→＝－32i＋32j，可得i＝OB→，j＝233OA→＋3OB→，由图知当P在C点时有，OP→＝3j＝2OA→＋3OB→，此时x＋y有最大值5，同理点P在与C相对的下顶点时有OP→＝－3j＝－2OA→－3OB→，此时x＋y有最小值－5.答案：C
