欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！专题44数列的性质【方法点拨】1.数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数，数列的函数性主要涉及数列的单调性（判断数列的增减性和确定数列中最大（小）项，求数列最值等）等；2.数列中的恒成立问题较函数中恒成立问题更难，但方法是想通的，一般都要分离参数，一般都要转化为研究单调性，但由于数列定义域是离散型变量,不连续，这给研究数列的单调性带来了难度,其一般解决方法是作差或作商.【典型题示例】例1若不等式1n＋1＋1n＋2＋⋯＋13n＋1>a－7对一切正整数n都成立，则正整数a的最大值为________．【答案】8【分析】要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式1n＋1＋1n＋2＋⋯＋13n＋1的最小值，可将其视为关于n的函数，通过单调性求解．【解析】令f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋⋯＋13n＋1(n∈N*)，对任意的n∈N*，f(n＋1)－f(n)＝13n＋2＋13n＋3＋13n＋4－1n＋1＝23n＋13n＋23n＋4>0，所以f(n)在N*上是增函数．又f(1)＝1312，对一切正整数n，f(n)>a－7都成立的充要条件是1312>a－7，所以a<9712，故所求正整数a的最大值是8.点评：本题是构造函数法解题的很好的例证．如果对数列求和，那就会误入歧途．本题构造函数f(n)，通过单调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题．利用函数思想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其性质，才能使解题思路灵活变通.例2已知常数0，设各项均为正数的数列na的前n项和为nS,满足：11a，欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！11131nnnnnnaSSaa（*nN）．若112nnaa对一切*nN恒成立，则实数的取值范围是．【答案】13【分析】已知条件11131nnnnnnaSSaa中含“项、和”，需抓住特征，实施消和.【解析】 11131nnnnnnaSSaa0na，∴1131nnnnnSSaa则212131SSaa，2323231SSaa，11131nnnnnSSaa2n相加，得2113331nnnSna则3322nnnSnan上式对1n也成立，∴*332nnnSnanN．③∴1*13312nnnSnanN．④④－③，得1113333122nnnnnanana即11333322nnnnnana 0，∴133330,022nnnn. 112nnaa对一切*nN恒成立，∴332nn1133()22nn对一切*nN恒成立．欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！即233nn对一切*nN恒成立．记233nnnb,则111423622233333333nnnnnnnnnnbb当1n时，10nnbb；当2n时，10nnbb∴1213bb是{}nb中的最大项．综上所述，的取值范围是13.欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！【巩固训练】1.已知数列na中，则在数列79()80nnanNn则数列na的前50项中最小项为第项，最大项为第____项.2.等比数列na的首项11000a，公比12q，设123()nnpaaaanN，则123,,,,,()nPPPPnN中第______项最大.3.已知2()20nnanNn，则在数列na的最大项为第______项.4.若不等式1n＋1＋1n＋2＋⋯＋13n＋1>a－7对一切正整数n都成立，则正整数a的最大值为________．5.数列若对任意恒成立，则正整数m的最小值为.6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是A．(－∞，2)B．(－∞，3)C．(－∞，4)D．(－∞，5)7．已知数列na的前n项和nS满足21nnSa.若对任意正整数n都有10nnSS恒成立，则实数的取值范围为（）A．,1B．12，C．13，D．14，8．已知数列na的通项公式为1133144nnna，则数列na中的最小项为（）.A．1aB．2aC．3aD．4a9．已知数列na满足：1aa，1581nnnaanNa，若对任意的正整数n，都有3na，则实数a的取值范围（）A．0,3B．3,C．3,4D．4,,,141,1}{22221211nnnnnaaaSaaaa记满足3012mSSnn*Nn欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！10．已知数列na满足13a，*131nnnaanNn，若*nN，使得340nnak成立，则实数k的取值范围是（）A．1,4B．,0C．3,8D．27,64欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！【答案与提示】1.【答案】8、9【提示】79807918080nnann，类比一次分式函数性质.2.【答案】10【提示】1110002nna，11110002nnnnpap，令111100012nnnpp解得11n.3.【答案】4、5【提示】212020nnannn，利用对勾函数性质.4.【答案】8【分析】要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式1n＋1＋1n＋2＋⋯＋13n＋1的最小值，可将其视为关于n的函数，通过单调性求解．【解析】令f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋⋯＋13n＋1(n∈N*)，对任意的...
