23个经典的不等式专题1、证明：；2、若：，求证：；3、若：，求证：；4、若：，且，求：的取值范围；5、若：是的三边，求证：；6、当时，求证：；7、若，求的值域；8、求函数的最大值和最小值；9、若，求证：；10、若，且，试求：的取值范围11、若，且，求的最小值12、若，且，求的最大值和最小值；13、若，，且满足，，，求：的值；14、求证：；15、当时，求证：；16、求证：；17、求证：；18、已知：,求证：；19、已知：，求证：；第1页23个经典的不等式专题20、已知：，求证：；21、已知：，求证：；22、设：，求证：；23、已知：，求证：.【解答】1.证明：；1、证明：.从第二项开始放缩后，进行裂项求和.另：本题也可以采用积分法证明.构建函数：，则在区间为单调递减函数.于是：从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为；积分项小于求和项时，积分限为.2.若：，求证：；2、证明：，即：则：，，即：，即：.立方和公式以及均值不等式配合.另：本题也可以采用琴生不等式证明.构建函数：，则在在区间为单调递增函数，且是下凸函数.对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不小于平均值的函数值.即：对于本题：即：第2页23个经典的不等式专题即：，即：，即：琴生不等式可秒此题.3.若：，求证：；3、由：得：，则：，即：故：.从一开始就放缩，然后求和.另：本题也可以采用不等式性质证明.所证不等式中的任何一项如第项，均满足，当有项累加时，不等式两个边界项乘以倍，则不等式依然成立.即：大于最小值得倍，小于最大值的倍.另外，的最大值是，本题有些松.4.若：，且，求：的取值范围；4、解：，令：，则上式为：.解之得：.均值不等式和二次不等式.5.若：是的三边，求证：；5、证明：构造函数，则在时，为增函数.所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：，那么，，即：..构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果.另：不等式的入门证法就是“作差法”和“作商法”.“作差法”即两项相减得差与0比较；作商法”即同号两项相除得商与1比较.本题亦可以采用“作差法”.6.当时，求证：；6.证明：当时，，第3页23个经典的不等式专题都扩大倍得：，取倒数得：，裂项：，求和：，即：先放缩，裂项求和，再放缩.另：本题也可以采用积分证明.构建函数：，则在区间为单调递减函数.由面积关系得到：即：即：本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项式.后面的证法同前.7、若，求的值域；7、解：设：，，则：，，代入向量不等式：得：，故：.这回用绝对值不等式.本题另解.第4页OAABDCEFGH23个经典的不等式专题求函数的极值，从而得到不等式.求导得：则：，故函数的极值出现在.函数为奇函数，故我们仅讨论正半轴就可以了，即在.由于是奇函数，故在，故：.8、求函数的最大值和最小值；8、解：将函数稍作变形为：，设点，点，则，，而点N在单位圆上，就是一条直线的斜率，是过点M和圆上点N直线斜率的倍，关键是直线过圆上的N点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围就是：.故的最大值是1，最小值是-1.原本要计算一番，这用分析法，免计算了.另：如果要计算.第5页23个经典的不等式专题先变形：变形为：；即：；即：，即：；即：，即：，即：，即：如果要计算，需要用到辅助角公式.9、若，求证：9、证明：由柯西不等式：即：即：柯西不等式.本题也可以采用排序不等式证明.首先将不等式变形：；即：，即：.由于对称性，不妨设：，则：；即：.有排序不等式得：正序和乱序和；正序和乱序和；上两式相加得：即：证毕.排序不等式.10、若，且，试求：的取值范围；第6页23个经典的不等式专题10、解：柯西不等式：；即：，故：；所以：.柯西不等式.另：本题亦可采用求极值的方法证明.构建拉格朗日函数：由在极值点的导数为0得：，则：，即：；，则：，即：；，则：，即：.代入得：极值点为：，，则：，即：11、若，且，求的最小值；11、解：设：，，则：；；；代入得：；即：，故：最小值为4.向量不等式.向量不等式是柯西不等式的特殊形式，本题当然可用柯西不等式.，即：用拉格朗日乘数法也行.构建拉氏函数：在极值点的导数为0，即：，即：；第7页23个经典...
