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全国初中数学联赛分类汇编6--几何解答题(含答案_免费)VIP免费

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全国初中数学联合竞赛分类解析汇编6---几何解答题1、如图,四边形是梯形,点是上底边上一点,的延长线与的延长线交于点,过点作的平行线交的延长线于点,与交于点.证明:∠=∠.(2007)证明设与交于点,∵//,∴△∽△,∴,∴.又∵//,∴△∽△,∴,∴.∴,故又∠=∠,∴△PNF∽△PMC,∴∠PNF=∠PMC,∴NF//MC∴∠ANF=∠EDM.又∵ME//BF,∴∠FAN=∠MED.∴∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED,∴∠AFN=∠DME.2.如图,圆与圆相交于两点,为圆的切线,点在圆上,且.(1)证明:点在圆的圆周上.(2)设△的面积为,求圆的的半径的最小值.(2008)解(1)连,因为为圆心,,所以△∽△,从而因为,所以,所以,因此点在圆的圆周上.(2)设圆的半径为,的延长线交于点,易知.设,,,则,,.因为,,,所以△∽ABCDEFMNP△,所以,即,故.所以,即,其中等号当时成立,这时是圆的直径.所以圆的的半径的最小值为.3.设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,、分别是△ADC、△BDC的内心,AC=3,BC=4,求.(2009)解作E⊥AB于E,F⊥AB于F.在直角三角形ABC中,AC=3,BC=4,.又CD⊥AB,由射影定理可得,故,.因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径,所以=连接D、D,则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线,所以∠DC=∠DA=∠DC=∠DB=45°,故∠D=90°,所以D⊥D,.同理,可求得,.所以=.FEI1I2DBAC4.已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证:EF∥AB.(2009)解因为BN是∠ABC的平分线,所以.又因为CH⊥AB,所以,因此.又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以,因此C、F、H、B四点共圆.又,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.同理可证,点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH,所以EF∥AB.5、已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D.证明:PD是⊙I的切线.(2010)证明过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延长,交BC于点N.因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠BCP.又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC.又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.由NM=QN,BA=BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ=∠ACB,所以MQ//AC又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.6.如图,在四边形ABCD中,已知,,,对角线交于点,且,为的中点.求证:(1);(2).(2011)证明(1)由已知得,从而四点共圆,为直径,为该圆的圆心.FQEPHNMACBNQIPCAMBNMSDCPAB作于点,知为的中点,所以==,从而.(2)作于点,则.又,∴,∴Rt△≌Rt△,∴,又,所以,故,所以.7.如图,已知为锐角△内一点,过分别作的垂线,垂足分别为,为的平分线,的延长线交于点.如果,求证:是的平分线.(2011)证明如图1,作于点,于点,于点,于点.设,∵,∴.若,如图2,作,分别交于点,则△∽△,∴,∴,∴.若,则.若,同理可证.N2N1M1M2DEFNMCBAPH1HN1M1DNMP∵,∴,∴.∵,∴,∴.又,∴.又因为是的平分线,所以,∴.显然,即,∴,∴是的平分线.8.如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D.证明:.(2012)证明:连接OA,OB,OC.∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得,.又由切割线定理可得,∴,∴D、B、C、O四点共圆,∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD,∴,∴.DPOABC

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