全国初中数学联合竞赛分类解析汇编6---几何解答题1、如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠.（2007）证明设与交于点，∵//，∴△∽△，∴,∴.又∵//，∴△∽△，∴,∴.∴,故又∠=∠，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC∴∠ANF＝∠EDM.又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.2．如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.（1）证明：点在圆的圆周上.（2）设△的面积为，求圆的的半径的最小值.（2008）解（1）连，因为为圆心，，所以△∽△，从而因为，所以，所以，因此点在圆的圆周上.（2）设圆的半径为，的延长线交于点，易知.设，，，则，，.因为,,，所以△∽ABCDEFMNP△，所以，即，故.所以，即，其中等号当时成立，这时是圆的直径.所以圆的的半径的最小值为.3．设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.（2009）解作E⊥AB于E，F⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，.同理，可求得，.所以＝.FEI1I2DBAC4．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.（2009）解因为BN是∠ABC的平分线，所以.又因为CH⊥AB，所以，因此.又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆.又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.5、已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.（2010）证明过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.6．如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且，为的中点．求证：（1）；（2）．（2011）证明（1）由已知得，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心．FQEPHNMACBNQIPCAMBNMSDCPAB作于点，知为的中点，所以＝＝，从而．（2）作于点，则．又，∴，∴Rt△≌Rt△，∴，又，所以，故，所以．7．如图，已知为锐角△内一点，过分别作的垂线，垂足分别为，为的平分线，的延长线交于点．如果，求证：是的平分线．（2011）证明如图1，作于点，于点，于点，于点．设，∵，∴．若，如图2，作，分别交于点，则△∽△，∴，∴，∴．若，则．若，同理可证．N2N1M1M2DEFNMCBAPH1HN1M1DNMP∵，∴，∴．∵，∴，∴．又，∴．又因为是的平分线，所以，∴．显然，即，∴，∴是的平分线．8．如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：.（2012）证明：连接OA，OB，OC.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.又由切割线定理可得，∴，∴D、B、C、O四点共圆，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴，∴.DPOABC
