同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5（精练） VIP免费

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-71判别下列各反常积分的收敛性如果收敛计算反常积分的值(1)14xdx解因为3131)31(lim3131314xxxdxx所以反常积分14xdx收敛且3114xdx(2)1xdx解因为22lim211xxxdxx所以反常积分1xdx发散(3)dxeax0(a0)解因为aaeaeadxeaxxaxax11)1(lim100所以反常积分dxeax0收敛且adxeax10(4)0chtdtept(p1)解因为1]1111[21][21ch20)1()1(0)1()1(0ppepepdteetdtetptptptppt所以反常积分0chtdtept收敛且1ch20pptdtept(5)0sintdtept(p00)解00cos1sintdetdteptpt0200sin1)(cos1cos1tdepdtpetteptptpt0202)(sinsin1dtpetptepptpt022sin1tdteppt所以220sinwptdtept(6)222xxdx解)2(2)1arctan()1(12222xxdxxxdx(7)dxxx1021解这是无界函数的反常积分x1是被积函数的瑕点11)1(lim1121102102xxdxxxx(8)202)1(xdx解这是无界函数的反常积分x1是被积函数的瑕点因为212102202)1()1()1(xdxxdxxdx而111lim11)1(110102xxxdxx所以反常积分202)1(xdx发散(9)211xxdx解这是无界函数的反常积分x1是被积函数的瑕点21232121]12)1(32[)111(1xxdxxxxxdx322]12)1(32[lim38231xxx(10)exxdx12)(ln1解这是无界函数的反常积分xe是被积函数的瑕点2)arcsin(lnlim)arcsin(lnln)(ln11)(ln111212xxxdxxxdxexeee2当k为何值时反常积分0)(lnkxxdx收敛?当k为何值时这反常积分发散?又当k为何值时这反常积分取得最小值?解当k1时2122)(ln11ln)(ln1)(lnkkkxkxdxxxdx当k1时222)ln(lnlnln1)(lnxxdxxxdxk当k1时kkkkkxkxdxxxdx12122)2(ln11)(ln11ln)(ln1)(ln因此当k1时反常积分0)(lnkxxdx收敛当k1时反常积分0)(lnkxxdx发散当k1时令kkkxxdxkf10)2(ln11)(ln)(则)2lnln11()1(2lnln)2(ln2lnln)2(ln11)2(ln)1(1)(21112kkkkkfkkk令f(k)0得唯一驻点2lnln11k因为当2lnln111k时f(k)0当2lnln11k时f(k)0所以2lnln11k为极小值点同时也是最小值点即当2lnln11k时这反常积分取得最小值3利用递推公式计算反常积分0dxexIxnn解因为101000nxnxnxnxnnnIdxexnexdexdxexI所以Inn(n1)(n2)2I1又因为1000001xxxxxedxexexdedxxeI所以Inn(n1)(n2)2I1n!