第一章1.11.1.1基础练习1．下列语句中，不能作为命题的是()A．地球上有四大洋B．－5∈ZC．π∉RD．|x＋a|【答案】D【解析】D没有做出判断，故不是命题．2．在下列4个命题中，是真命题的序号为()①3≥3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．A．①B．①②C．①②③D．①②④【答案】D【解析】对于③，举一反例，若A＝15°，B＝15°，则C为150°，为钝角三角形．3．已知命题：①若ac＝bc，则a＝b；②若a>b，则<；③若x－2＝0，则x－2≤0；④若p>0，则p2>p.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】①当c＝0时，不一定有a＝b恒成立，是假命题；②当a>0，b<0时，不等式<不成立，是假命题；③是真命题；④当0
p不成立，是假命题．故选A.4．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a>b，则a＋c>b＋c；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中真命题的序号是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【解析】①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质，显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形；④为真命题．5．命题“方程x2－x＋1＝0有两个实数根”的条件是______________________.一个方程是x2－x＋1＝0【解析】把命题改写成“若p，则q”的形式为“若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根”，所以命题的条件是一个方程是x2－x＋1＝0.6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”为______(填“真命题”或“假命题”)．【答案】假命题【解析】当x＝－1时，满足x≠1，但x2－1＝0.故为假命题．7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式：(1)对顶角相等；(2)平行四边形的对角线相交于一点且互相平分；(3)偶数能被2整除；(4)当二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根．【解析】(1)若两个角是对顶角，则这两个角相等．(2)若四边形是平行四边形，则其对角线交于一点且互相平分．(3)若一个数是偶数，则这个数能被2整除．(4)若二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ>0，则该方程有两个不相等的实数根．8．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(2)求证：若方程x2－x＋2＝0无实根；(3)平行于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)当x＝4时，2x＋1<0.【解析】(1)是命题，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，因此这是一个假命题．(2)不是命题，它是祈使句．(3)不是命题，它是一个疑问句，没有做出判断．(4)是命题，能判断真假，它是一个假命题．能力提升9．(2013年天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．其中真命题的序号是()A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案】C【解析】①由球的体积公式V＝πR3，可知若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的，故①正确；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2,2,2和1,2,3，这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；③圆x2＋y2＝的圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝＝半径r，故直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切，③正确．故选C.10．(2015年浙江)设实数a，b，t满足|a＋1|＝|sinb|＝t.则下列命题正确的是()A．若t确定，则b2唯一确定B．若t确定，则a2＋2a唯一确定C．若t确定，则sin唯一确定D．若t确定，则a2＋a唯一确定【答案】B【解析】∵实数a，b，t满足|a＋1|＝t，∴(a＋1)2＝t2，a2＋2a＝t2－1.t确定，则t2－1为定值，则a2＋2a唯一确定．故选B.11．已知“当x1”是假命题，则实数a满足的条件为_________．【答案】a≤0【解析】由x1是假命题，则a≤0.12．设p：x2－2x－3>0，q：(x－1)(x＋2)≤0，为了使p，q均为真命题，求x的取值范围．【解析】当p为真命题时，解x2－2x－3>0，得x<－1或x>3.当q为真命题时，解(x－1)(x＋2)≤0，得－2≤x≤1.∵p，q均为真命题，∴－2≤x＜－1.故x的取值范围是{x|－2≤x<－1}．
