含绝对值符号的不等式证明·教案教学目标1．掌握绝对值的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法．2．通过含有绝对值符号的不等式的证明．进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因，……等数学思想方法．通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考的思考方法．3．通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神．教学重点与难点理解掌握定理1，及其证明方法是这节课的重点也是难点，对定理1的指导论证不仅重在结论，更重要是重视结论的探求推导过程．捕捉住推证这个时机，启发学生用辩证的思想方法，去探求解决矛盾的途径．教学过程设计（一）复习师：我们在初中学过绝对值的有关概念．哪位同学来说说绝对值的定义？生：当a∈R时，则有：师：绝对值的几何意义？生：点A的读数为a，|a|表示A点到原点的距离．师：绝对值的运算公式？生：如果a＞0，则有：|x|＜ax2＜a2-a＜x＜a；|x|＞ax2＞a2x＞a或x＜-a．师：绝对值的基本性质有哪些？生：当|a|≥0时，若a≠0，|a|＞0．师：|a|与±a有什么关系？生：a＞0时，|a|=a；a＜0时，|a|＞a，|a|=-a；a=0时，|a|=±a，所以|a|≥±a．师：|a|2与a2有什么关系？生：|a|2=a2师：比较-|a|与a，a与|a|的大小？生：这需要讨论．当a＞0时：当a＜0时：当a=0时：|a|=a|a|=-a-|a|=a=|a|-|a|=-a＜0-|a|=a-|a|＜a=|a|a＜|a|-|a|=a＜|a|师：由以上大家的讨论，我们可以得到什么结论？生：-|a|≤a≤|a|．师：这里对a有什么要求？生：a∈R．（二）新课师：请大家看式子|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|．这个式子包括两部分：|a+b|≤|a|+|b|（1）；|a|-|b|≤|a+b|（2）．利用上面的式子-|a|≤a≤|a|，如何出现含有a+b的式子？生：由-|a|≤a≤|a|①与-|b|≤b≤|b|②两式相加就有-（|a|+|b|）≤a+b≤|a|+|b|．③师：当我们将|a|+|b|看作一个整体时，上面的③式逆用|x|＜a-a＜x＜a可有什么结论？生：|a+b|≤|a|+|b|．（*）师：这正是我们要证明的式子的（1）．那么式子（2）我们又如何证明呢？现在我们考虑（2）式左边|a|与|b|的差的符号有哪些可能？生：|a|-|b|＞0或=0或＜0三种可能．师：现在我们就这几种可能进行讨论．当|a|-|b|＜0时，看（2）式是一个怎样的不等式？生：绝对不等式，显然成立．师：那当|a|-|b|≥0时，|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|a2-2|ab|+b2≤a2+2ab+b2≤a2+2|ab|+b2-2|ab|≤2ab≤2|ab|-|ab|≤ab≤|ab|，这正是以上我们复习的绝对值的基本性质．所以我们可有以下证明：由-|ab|≤ab≤|ab|，知-|2ab|≤2ab≤|2ab|，则a2|2ab|+b2≤a2+2ab+b2≤a2+|2ab|+b2，即|a|2-|2ab|+|b|2≤（a+b）2≤|a|2+|2ab|+|b|2．所以（|a|-|b|）2≤|a+b|2≤（|a|+|b|）2．又|a|-|b|≥0，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|．由以上证明我们可以看到如论|a|-|b|＜0或|a|-|b|≥0都有|a|-|b|≤|a+b|成立．师：再与（*）合在一起，就有公式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a+b|≤|a|+|b|成立，这就是我们要学习的定理1．师：对上面的（2）式的证明还有什么其他方法呢？是否可以考虑利用已经证明的（1）式来证明（2）式呢？生：可以把a成a=a+b-b，|-b|=|b|，这样就有|a|=|（a+b）-b|≤|a+b|+|-b|，移项后就有：|a|-|b|≤|a+b|得到（4），由（3）（4）便也可得到定理1．师：由于定理1中对a，b没有特殊要求．我们如果用-b代b会有什么结果？（要求学生自己运算）．下面请一位学生到黑板上完成．生：（在黑板上做）因为|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，用-b代b，得|a|-|-b|≤|a+（-b）|≤|a|+|b|，即|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|．师：这就是我们今天要学的定理2．（三）练习（由学生自行完成）师：请一个同学上黑板完成其余同学在课堂本上完成．师：这是一道含有绝对值符号的不等式．但首先是一道不等式的证明．以前我们学过的不等式证明都有些什么常用的方法？生：有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、三角代换法等．师：当我们无从下手时，我们考虑用什么方法？生：用分析法．师：那我们用分析法试试．（由学生叙述老师板书）生：分析法．1+2ab＋a2b2，只要证1-a2-b2+a2b2＞0，只要证（1-a2）（1-b2）＞0．师：...
