圆锥曲线平行弦中点的轨迹江夏一中胡成波直线与圆锥曲线是高中数学永恒的主题，本节我们探讨一下圆锥曲线中平行弦中点的轨迹。例1.已知：抛物线y=4x,斜率为2的直线与抛物线交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。解：设中点M（x,y）,A(x,y),B(x,y)设直线AB：y=2x+n由得（2x+n）=4x∴4x+4(n-1)x+n=0y=4x△=16(n-1)-16n＞0A(x,y)∴n＜x+x=1-n∴x==B(x,y)∴y=2．+n=1∵n＜∴x=＞∴所求轨迹方程为y=1(x＞)此题的另一种解法：点差法由得（y+y）（y-y）=4（x-x）∴=∴2=∴y=1再求解法知x＞∴所求弦AB中点M的轨迹方程为：y=1(x＞)注：用点差法求弦中点的轨迹方程很简单，但不容易求出点的轨迹方程的定义域由例1知，抛物线y=4x的一组平行弦中点的轨迹在一条直线上，对于一般抛物线是否成立呢？我们现在来证明。不妨设抛物线y=4x（p＞0），直线y=kx+n,（其中k是常数，且k≠0，n是参数）直线与抛物线交点为A(x,y),B(x,y),AB中点为M（x,y）xy由得kx+2knx+n=2px∴kx+2(kn-p)x+n=0∴4(kn-p)-4kn＞0∴kn-2pkn+p-kn＞0∴2kn＜p推出kn＜∴x+x=-=n∴x==-=∴y=kx+n=-+n=∵kn＜∴x=＞=所求弦AB中点轨迹方程为=（x＞）在x轴上，当弦AB斜率不存在时，弦AB中点都在一条直线上，由此可知：抛物线一组平行弦中点都在一条直线上，此结论对于其他圆锥曲线是否成立呢？我们以椭圆为例。例2；已知椭圆+=1（a＞b＞0）.斜率为k（k≠0）的直线与椭圆交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。解：设直线AB：y=kx+n(k＞0),A(x,y),B(x,y)弦AB中点M（x,y）由得:∴△=＞0∴n＜∴-＜n＜-又x+x=-∴x==-∴y=k．(-)+n=-由消去参数n得y=-又∵-＜n＜∴-＜x＜所求中点M轨迹方程为y=-x(-＜x＜)当直线AB斜率为0时，弦AB中点M轨迹方程为x=0(-b＜y＜b),当直线AB斜率不存在时，弦AB中点M轨迹方程为y=0(-a＜x＜a).由此可知：椭圆一组平行线中点弦的轨迹在一条直线上，并且这条直线的斜率存在，则斜率为-此题也可用点差法求弦中点的轨迹。过程如下：由得当x=x时，弦AB中点M轨迹方程为y=0(-a＜y＜a)当y=y时，弦AB中点M轨迹方程为x=0(-b＜y＜b)当x≠x且y≠y时=-∴k=-．∴y=-再由方法一求出x的取值范围。让大家由练习观察：练习1：已知双曲线-=1，斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。练习2：已知双曲-=1，斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。练习1答案：y=2x(x∈R),练习2答案:y=(x＞2或x＜-2)此结论对于双曲线也是成立的结论：双曲线与斜率为k（k≠0）的直线交于A,B两点，弦AB中点轨迹方程为：y=定义域留给大家研究。
